Показатели качества в установившемся режиме

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА»

В. А. Есаков, В. Г. Дудко

Анализ качества и синтез параметров систем автоматического управления

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия к выполнению лабораторных работ для студентов, обучающихся по направлениям: 550200 (220200) Автоматизация и управление, 553000 (220100) Системный анализ и управление.

Москва

Издательство Московского государственного университета леса

2008

УДК 621.078

Е81

Разработано в соответствиис Государственным образовательным стандартом ВПО 2000 г. на основе примерных программ дисциплин «Теория автоматического управления», «Основы теории управления»

Рецензенты: проф. П.А. Тарасенко, МГУЛ;

                 доц. В.М. Ачильдиев, ФГУП НИИ ПМ

Работа подготовлена на кафедре Систем автоматического управления

В. А. Есаков, Дудко В. Г.

Е81  Анализ качества и синтез параметров систем автоматического управления : учеб.-методич. пособие /В. А. Есаков, В. Г. Дудко. – М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. – 32 с. : ил.

Учебно-методическое пособие предназначено для закрепленияпрактических и теоретических знаний студентов по курсу «Основы теории автоматического управления». Рассмотрены вопросы определения показателей качества систем автоматического управления в переходном режиме и в установившемся состоянии, различные методы коррекции систем, а также некоторые методы синтеза систем с заданными показателями качества.

УДК 621.078

© В. А. Есаков, В. Г. Дудко, 2008

© ГОУ ВПО МГУЛ, 2008

ВВЕДЕНИЕ

Учебно–методическое пособие предназначено для закрепления и углубления знаний, полученных студентами на лекционных и практических занятиях по курсу «Теория автоматического управления» и «Основы автоматического управления».

Учебно-методическое пособие содержит описание пяти лабораторных работ, посвященных исследованию, анализу и синтезу систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

В лабораторных работах 1 и 2 рассматриваются вопросы, связанные с получением интегральных квадратичных оценок качества системы и получением оценок качества системы в установившемся состоянии.

В работе 3 приведена методика расчета параметров желаемых ЛАХ разомкнутой системы, обеспечивающих требуемое качество системы как в переходном режиме, так и в установившемся состоянии. В работе 4 рассматриваются наиболее распространенные методы включения корректирующих элементов, обеспечивающих заданное качество системы, а также методика расчета передаточных функций корректирующих звеньев. В работе 5 рассматриваются типовые регуляторы, позволяющие улучшить качественные показатели системы, а также методика выбора параметров ПИД - регулятора из условия обеспечения максимальной степени устойчивости.

При выполнении лабораторной работы студент предварительно выполняет аналитический расчет параметров системы, а затем после выполнения моделирования может сравнить полученные результаты с результатами, полученными аналитически.

Выполнение лабораторных работ осуществляется с привлечением пакета расширения Matlab «Simulink», который позволяет осуществлять моделирование практически любых систем управления, в том числе и нелинейных.

Учебно-методическое пособие будет полезно студентам, обучающимся по направлениям 220100 (553000) «Системный анализ и управление» и 220200 (550200) «Автоматизация и управление».

Лабораторная работа 1

Интегральные показатели качества

Цель работы: Знакомство с числовыми показателями качества работы системы, вычисление этих показателей и оценка влияния параметров системы на эти показатели качества.

Теоретическое введение

 Ошибку системы можно представить в виде двух слагаемых:

                                     ,

 где  – переходная составляющая ошибки, 

 - установившееся значение ошибки.

В качестве интегральных оценок наиболее часто используют интегральную квадратическую ошибку (оценку) [1,5]

                                                                            (1.1)

и обобщенные интегральные квадратические оценки

                 (1.2)  

где ,  – весовые константы, которыми задаются заранее,  - i-я производная от .

Величина  стремится к 0, если . Однако, возможны случаи, когда при малых  система становится сильно колебательной. В этом случае используются обобщенные интегральные оценки [4, 5].

Для вычисления интегральных квадратичных оценок может быть использовано равенство Парсеваля, которое записывается в виде:

                                                   (1.3)

На основании равенства Парсеваля для интегральных оценок имеем:

                                                               (1.4)

где , , .

     Так как ,

где , то формулу для  можно записать в виде:

          (1.5)

     Аналогичным образом можно представить формулы для

                                          .

Определение интегральных показателей по формулам (1.5) сводится к вычислению интегралов вида:

                       (1.6)

Этот интеграл вычисляется с помощью теории вычетов и для n=1, 2, 3 имеет вид [4]:

n=1:                                                                             (1.7)

n=2:                                                               (1.8)

n=3:                           (1.9)

Выполнение работы

1. Вычислить величины и  для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид , при входном воздействии .

Учитывая, что , можно записать                   

        .

Установившееся значение

Так как , то    

         .

На основании теоремы о начальном, имеем:

                          .

Величина  на основании (1.3)

                        .

Следовательно, , ,  и .

Теперь найдем :

Так как

           ,

Имеем, используя для вычисления интеграла формулу (1.7),

2. При k=4, задаваясь значениями T=0.1, 0.4, 1, вычислить  и . Данные свести в таблицу.

3. При T=0.4, задаваясь значениями k=2, 5, 10, вычислить значения  и . Данные свести в таблицу.

4. В окне модели собрать блок- диаграмму модели (как показано на рис.1.1).

Рис.1.1

Состав элементов модели виден из приведенного рисунка. Для измерения величины  используется Display1, для измерения составляющей , определяемой величиной , используется Display2.    Величина  будет равна сумме показателей Display1 и Display2. Установившееся значение  задается в окне свойств элемента Constant1. Требуемые значения K и T задаются в окне свойств элемента Transfer Fcn или в командном окне. Окно свойств любого элемента вызывается двойным щелчком на изображении этого элемента в окне модели. Элементы Product и Sum находятся в разделе библиотеки Math Operations.

5. Устанавливая значения K и T, в окне свойств Transfer Fcn равными значениям, указанным в пунктах 2 и 3, зафиксировать по показаниям Display1 и Display2 значения  и . Сравнить их со значениями, полученными в пунктах 2 и 3.

 6. Повторить выполнение пунктов с 1 по 5 для передаточной функции .

Контрольные вопросы

1.Почему при вычислении интегральной оценки ошибку представляют в виде двух слагаемых?

2.Как можно вычислить установившееся значение ошибки?

3.Чему будет равна величина установившейся ошибки, если передаточная функция разомкнутой системы не содержит интегрирующих звеньев, содержит интегрирующее звено?

4.Что представляет собой обобщенная интегральная оценка?

5.Что представляет собой равенство Парсеваля?

6.Как влияют весовые коэффициенты на интегральную оценку ошибки?

7.Каким образом с помощью равенства Парсеваля вычисляется интегральная квадратичная оценка?

8.Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии . Как будет изменяться величина интегральной оценки с увеличением , ?

9.Учитывает ли интегральная оценка колебательность переходного процесса?

10.Как использовать равенство Парсеваля для вычисления обобщенной интегральной оценки?

11.Можно ли использовать равенство Парсеваля для вычисления интегральной оценки, если порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя?

Лабораторная работа 2

Показатели качества в установившемся режиме

Цель работы: Знакомство с показателями качества системы в установившемся режиме, способами определения этих показателей, а также определение условий, накладываемых на структуру системы, при которых система приобретает астатизм - го порядка.

Теоретическое введение

Наиболее полной характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка. Когда внешние воздействия являются функциями времени, установившаяся ошибка как вынужденная составляющая ошибки является функцией времени.  

Если на систему действуют два внешних воздействия – задающее воздействие  и возмущение , то установившуюся ошибку можно представить в виде суммы (рис.1)

                                                  (+)              (t)

                    (-)

Рис.2.1

                                                                            (2.1)

где  и  - установившиеся ошибки от задающего воздействия  и возмущения  соответственно.

Коэффициенты ошибок. Числовыми показателями качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяются следующим образом.

Установившуюся ошибку   можно представит в виде ряда

                       ,         (2.2)

где

                            (2.3)

Здесь -передаточная функция относительно входа  и выхода . Коэффициенты  ( ) называются коэффициентами ошибки по задающему воздействию.

Аналогично можно представить установившуюся ошибку :

                                 (2.4)

                          (2.5)

Здесь  – передаточная функция относительно входа  и выхода . Предполагается, что возмущение не приложено в одной точке с задающим воздействием. Коэффициенты  ( ) называются коэффициентами ошибки по возмущению.

Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия:  и - коэффициенты позиционной ошибки;  и - коэффициенты скоростной ошибки;  и - коэффициенты ошибки по ускорению.

Коэффициенты ошибок можно вычислить так же путем разложения в степенной ряд передаточных функций по ошибке от задающего и от возмущающего воздействий. В самом деле, взяв преобразование Лапласа от обоих частей равенства (2.2) получим

                                      (2.6)

где ,  – изображения ошибки и задающего воздействия.

Аналогично, взяв преобразование Лапласа от выражения (2.4) имеем

                  (2.7)

где ,  – изображение ошибки от возмущающего воздействия и изображение возмущающего воздействия соответственно.

Разложение в ряд по степеням  передаточной функции по ошибке получают путем деления числителя передаточной функции по ошибке на знаменатель передаточной функции по правилам деления многочлена на многочлен. При этом и числитель, и знаменатель передаточной функции должны быть расположены по возрастающим степеням . (При типовой записи передаточных функций числитель и знаменатель расположены по убывающим степеням ).

Определим, например, первые 3 коэффициента ошибок для задающего и возмущающего воздействий для системы, представленной на рис.2.1, для передаточных функций , .

Передаточные функции ошибки имеют вид

,

.

Расположив числители и знаменатели по возрастающим степеням  и выполнив операцию деления получим

Отсюда

, , .

 .

Из полученного разложения следует, что , , .

Можно показать, что для того чтобы система управления была астатической с астатизмом -го порядка относительно задающего воздействия, нужно чтобы она содержала  последовательно соединенных интегрирующих звеньев. При этом не важно в какой точке замкнутого контура они включены.

Для того чтобы система управления была астатической с астатизмом -го порядка относительно возмущения  (рис.2.1) нужно, чтобы она содержала -последовательно соединенных интегрирующих звеньев, включенных между точкой съема ошибки и точкой приложения возмущения. Так система, показанная на рис.2.2 будет иметь астатизм 1-го порядка относительно задающего воздействия , но будет статической относительно возмущающего воздействия .

                                        (+)  

                 (-)                                                                                 

                                               Рис.2.2

Выполнение работы

Исследование показателей качества статической системы по задающему и по возмущающему воздействию.

1. Собрать блок-диаграмму модели, как показано на рис.2.3 

 , .

2. Рассчитать первые три коэффициента ошибки по задающему и по возмущающим воздействиям  и .

                g(t)                                        

                                                                                  f(t)  

Рис.2.3

3. Написать выражение, описывающие установившуюся ошибку  от действия задающего воздействия для случаев когда , , .

4. Подавая на вход Sum1 поочередно сигналы с элементов Step, Ramp, и выхода Jnt в окне Scope наблюдать ошибку системы в установившемся состоянии от задающего воздействия. Сравнить результаты, наблюдаемые в окне Scope с рассчитанными значениями. (С выхода интегратора Jnt снимается сигнал, изменяющийся по закону . В окне Scope1 можно наблюдать входное воздействие и выходную переменную).

5. Подавая на вход элемента Sum2 поочередно сигналы с элементов Step, Ramp и Jnt в окне Scope наблюдать установившуюся ошибку от возмущающего воздействия . Полученные результаты должны совпадать с выражениями, описывающими ошибку от возмущения, полученными в пункте 3.

 Исследование системы астатической 1^го порядка по задающему воздействию  и статической по возмущающему воздействию .

6. С помощью окна свойств элемента Transfer Fcn 2 изменить передаточную функцию . Установить . Система станет астатической по задающему воздействию, но останется статической по возмущающему воздействию.

7. Для системы с измененной передаточной функцией повторить выполнение пунктов 3, 4, 5.

Исследование астатической системы 2-го порядка по задающему воздействию и астатической 1-го порядка по возмущающему воздействию.

8. С помощью окна свойств элементов Transfer Fcn1 и Transfer Fcn2 изменить  и  так, чтобы , . Система приобретает астатизм 2-го порядка по задающему воздействию и астатизм 1-го порядка по возмущающему воздействию.

Повторить выполнение пунктов 3, 4, 5 для новых передаточных функций  и .

Контрольные вопросы

1.Приведите определение установившейся ошибки.

2.Зависят ли коэффициенты ошибок от вида сигнала, подаваемого на систему?

3.В каком случае число членов ряда, описывающего установившуюся ошибку, будет конечным?

4.Сколько слагаемых будет иметь ряд, описывающий установившиеся ошибки при входном воздействии ?

5.Приведите пример входного воздействия, при котором количество членов ряда будет бесконечным.

6.Справедливо ли представление установившейся ошибки в виде бесконечного ряда в переходном режиме?

7.Как связаны коэффициенты добротности с коэффициентами ошибок?

8.Чем отличается статическая система от астатической?

9. Как определяется порядок астатизма системы?

10.Чему будет равна установившаяся ошибка для астатической системы 2-го порядка при входном воздействии ?

11.Как определить порядок астатизма системы по структурной схеме?

12.Передаточная функция разомкнутой системы содержит два интегрирующих звена. Каков порядок астатизма системы по задающему воздействию?

13.Можно ли утверждать, что число интегрирующих звеньев в разомкнутой системе определяет порядок астатизма системы?

14.Нарисуйте примерный график изменения установившейся ошибки во времени, если входное задающее воздействие ?

15.Как будет изменяться ошибка по положению в зависимости от коэффициента передачи системы, если система не имеет интегрирующих звеньев?

Лабораторная работа 3