Расчёт статически неопределимых систем методом сил в матричной форме

Система канонических уравнений метода сил (16.4) в матричной форме запишется:

dX + D_F = 0.       (16.20)

d – матрица перемещений по направлению усилий в удалённых связях Х_i в единичных состояниях основной системы метода сил, или матрица внешней податливости основной системы метода сил по направлению X_i (i = 1, 2, …, n).

.

Число строк и столбцов этой матрицы равно степени статической неопределимости сооружения n, т.е. матрица d – это квадратная матрица. С учётом теоремы о взаимности перемещений матрица d симметрична. В силу разрешимости системы уравнений (16.20) матрица внешней податливости основной системы метода сил является невырожденной, так как её определить не равен нулю (det d ¹ 0).

Х – матрица усилий в лишних связях сооружения, или матрица неизвестных метода сил.

.

D_F – матрица перемещений по направлению неизвестны метода сил в основной системе от заданного силового воздействия, или матрица свободных членов системы канонических уравнений метода сил.

.

Число строк в матрицах Х и D_F равно степени статической неопределимости сооружения n, а число столбцов – числу комбинаций внешних нагрузок р (постоянной и временных).

Элементы матриц d и D_F – это перемещения в основной системе метода сил по направлению усилий в удаленных связях X_i, соответственно, от единичных значений этих усилий и заданной нагрузки. Упомянутые перемещения d_ii, d_ij, D_iF можно вычислить в матричной форме, используя соотношение (13.18):

d = L^T B L,                                 (16.21)

D_F = L^T B L_F.                                  (16.22)

L – матрица необходимых для расчёта сооружения на силовое воздействие внутренних усилий (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил) в основной системе метода сил от X₁ = 1, X₂ = 1, …, X_j = 1, …, X_n = 1.

L = [L₁ L₂ … L_j … L_n],       .

Число столбцов матрицы L равно числу неизвестных метода сил n, а число строк блоков M_j, Q_j, N_j этой матрицы определяется характером внешней нагрузки и числом грузовых участков сооружения.

Для k-го грузового участка с равномерно распределённой нагрузкой

.

Здесь в и е – концевые сечения грузового участка (начало и конец), с – среднее сечение грузового участка.

Для k-го грузового участка, на котором распределённой нагрузки нет

.

Для участка с произвольно ориентированной по отношению к оси стержня равномерно распределённой нагрузкой

,

для грузового участка с такой же нагрузкой, но не перпендикулярной его оси

.

Если равномерно распределённая нагрузка перпендикулярна оси стержня, то продольную силу на таком грузовом участке берут в одном, произвольно взятом, сечении. При отсутствии нагрузки поперечную и продольную силы также фиксируют в одном сечении грузового участка.

В соотношении (16.22) L_F – матрица внутренних усилий в основной системе метода сил от заданной нагрузки.

L_F = [L_F1 L_F2 … L_Fj … L_Fp],         .

Число строк в блоках M_Fj, Q_Fj, N_Fj матрицы L_F также зависит от вида нагрузки, количества грузовых участков заданной системы и совпадает с числом строк блоков M_j, Q_j, N_j матрицы L. Количество столбцов матрицы L_F равно числу комбинаций силовых воздействий р.

В матричных соотношениях (16.21) и (16.22) В – матрица внутренней упругой податливости сооружения.

.

В_М – матрица упругой податливости, учитывающая изгибные деформации элементов сооружения. Для грузового участка с постоянной изгибной жёсткостью поперечного сечения (EJ_k = const) при наличии на нём равномерно распределённой нагрузки

,

при отсутствии нагрузки –

.

B_Q – матрица упругой податливости, учитывающая деформации сдвига элементов системы. На k-ом участке с равномерно распределённой нагрузкой в случае GA_k = const

,

без такой нагрузки –

.

B_N – матрица упругой податливости, учитывающая деформации растяжения-сжатия сооружения. Если равномерно распределённая нагрузка не перпендикулярна оси k-го грузового участка, то

,

если же такого рода нагрузка действует перпендикулярно оси грузового участка или вообще отсутствует на нём, то

.

Из системы канонических уравнений (16.20) получим матрицу неизвестных метода сил:

X = –d^-1 D_F.                           (16.23)

d^-1 – матрица, обратная по отношению к матрице внешней податливости d. Из линейной алгебры известно, что

d × d^-1 = Е,

где Е – единичная матрица.

Подставляя соотношение (16.21) и (16.22) в матричное выражение (16.23), получим:

X = –(L^T B L)^-1 (L^T B L_F).            (16.24)

Вычислив матрицу усилий в лишних связях сооружения Х и используя матрицы L и L_F, элементы которых есть внутренние усилия (изгибающие моменты, поперечные и продольные) от X₁ = 1, X₂ = 1, …, X_j = 1, …, X_n = 1 и заданной нагрузки, в соответствии с принципом независимости действия сил, получим:

.                    (16.25)

S – матрица внутренних усилий (изгибающих моментов M^(F), поперечных Q^(F) и продольных N^(F) сил в заданном сооружении от силового воздействия. Число строк этой матрицы совпадает с числом строк матрицы L и L_F, а число столбцов – с числом столбцов матрицы L_F, т.е. с количеством комбинаций внешних воздействий.

С учётом выражения (16.24) матричное соотношение (16.25) в окончательной форме запишется:

S = L_F – L(L^TBL)^-1(L^TBL_F).                      (16.26)

Для кинематической проверки расчёта заданного статически неопределимого сооружения на силовое воздействие производится сопряжение окончательных эпюр внутренних усилий, описываемых элементами матрицы S, с эпюрами внутренних усилий в единичных состояниях основной системы метода сил, описываемых элементами матрицы L. Если расчёт произведён правильно, то результат сопряжения вышеупомянутых эпюр в матричной форме даст нулевую матрицу, т.е.

L^T B S = 0.                            (16.27)

В расчётах плоских статически неопределимых рамных и балочных систем в соотношениях (16.26) и (16.27) матрицы L, L_F будут содержать блоки, учитывающие только изгибающие моменты, а матрица В – только элементы, соответствующие изгибным деформациям сооружения. С учётом данного обстоятельства, когда L = M, L_F = M_F, B = B_M, S = M^(F), имеем

M^(F) = M_F – M(M^T B_M M)^-1(M^T B_M M_F), (16.28)

M^T B_M M^(F) = 0.                         (16.29