Давление жидкости на твердые поверхности. Закон Архимеда

Давление жидкости на плоскую стенку

Для определения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под некоторым углом (рис.2.8.)воспользуемся основным уравнением гидростатики (2.10;2.9)

Ось Х направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью, а ось Y перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки. Для наглядности развернем плоскость стенки вместе с расположенной в ней площадкой S на 90⁰ до совпадения ее с плоскостью чертежа.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

        где р_{o -} давление на свободной поверхности;h – глубина расположения площадки dS.   

Рис.2.8.схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

где y - координата площадки dS.

 Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси OX и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка C), т.е.

                           . 

Следовательно,

(здесь h_c – глубина расположения центра тяжести площади S)

или                                                  (2.18) 

т.е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_с в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действует также с другой стороны стенки (подпор), сила F_изб. избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F_ж давления от веса жидкости, т.е.

.

Таким образом, сила с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения ц.т. этой площадки под уровень свободной поверхности.

Необходимо отметить, что для разных форм резервуаров, имеющих одинаковую площадь основания, давление на дно будет одинаковым во всех случаях.  

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления р₀ и силы F_ж от веса жидкости, т.е.

.

Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р₀ передаётся всем точкам площади S одинаково, то его равнодейcтвующая F₀ будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж от веса жидкости (точка Д) применим теорему Вариньона из механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси ОX равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

                         ,

где y_д– координата точки приложения силы F_ж.

Выражая F_ж  и dF_ж через y_с и y и определяя y_д, получаем

                             ,

где - момент инерции площадки S относительно оси OX.

Учитывая, что

          -теорема Гюйгенса- Штейнера

где -момент инерции площадки S относительно оси, проходящей через центр тяжести (точкаС) параллельной оси OX, находим

                                 .                                       (2.19)

Таким образом,точка приложения силы F_ж  расположена ниже центра тяжести площади стенки.

Если давление р_о равно атмосферному, то точка Д и будет центром давления (а мы как раз этот случай рассматривали).