Гидростатическое давление и его свойство

Поскольку жидкости практически не способны сопротивляться растяжению, а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы, поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать только силы давления; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими. (Можно пояснить на Рис.2.1. Т=0, т.к. жидкость неподвижная, а F уравновешивается силой реакции F¹ , т.к. жидкость не сжимаемая, используя з^н закон Ньютона)

Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения – напряжение сжатия, т.е. гидростатическое давление.

Рассмотрим основное свойство гидростатического давления: в любой точке жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. от углов ее наклона по отношению к координатным осям(р_x=р_y=р_z=р_n), где р_x, р_y, р_z, р_n – гидростатическое давление по направлению координатных осей и в произвольном направлении.

Для доказательства этого свойства выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными d_x, d_y, d_z (рис.2.2)

Пусть внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X, Y, Z. Обозначим через р_x  - гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси OX, через р_y - давление на грань, нормальную к оси OY и т.д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через р_n, а площадь этой грани через dS.

Рис.2.2. Схема для доказательства свойства гидростатического давления. 

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси OX, учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости.

Проекция сил давления на ось OX

                           .

Масса жидкости в тетраэдре равна произведению плотности на ее объем,т.е.  Следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси OX, будет

                         .

Уравнение равновесия тетраэдра запишем в виде:

                 .

Разделив это уравнение на площадь  которая равна площади проекции наклонной грани ds на плоскость YOZ, т.е. получим

                                 р_х-р_n+ .

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, также стремится к нулю. Следовательно, в пределе получим р_x-р_n=0 или р_х=р_n.

Аналогично составляя уравнение равновесия вдоль осей OY и OZ, находим

                               р_y=р_n, р_z=р_n или р_x=р_y=р_z=р_n .                               (2.3)

Так как размеры тетраэдра dx, dy, dz взяты произвольно, то и наклон площадки ds произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.

Что и требовалось доказать.   

Необходимо отметить, что гидростатическое давление в точке одинаково по всем направлениям, но является функцией координат р=р(x,y,z).