Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданиемили средним значением дискретной случайнойвеличины Х называется число

Если же дискретная случайнаявеличина Х имеет n возможных значений, то

Таким образом, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих значений.

Математическим ожиданием непрерывной случайнойвеличины Х называется число

Если же возможные значения непрерывной случайнойвеличины Х принадлежат лишь отрезку [ a ;b], то

Пример 12.Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности.

Найти М[X].

Решение.

Простейшие свойства математического ожидания.

Свойство1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, то есть М[C]=С.

Свойство2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть М[СX]=СM[X].

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсиейслучайной величины Х называется число, характеризующее степень разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания, обозначаемое D[X] и равное D[X]=M[(X-M[X])²].

Следовательно, для дискретной случайнойвеличины D[X] находят по формуле

m_x – математическое ожидание M[X].

Для непрерывной случайнойвеличины

Средним квадратическим отклонениемслучайной величины Х называется число σ_x =  , где D_x=D[X].

Среднее квадратическое отклонение σ_x также характеризует степень отклонения возможных значений случайной величины относительно ее m_x, но имеет размерность случайной величины.

Простейшие свойства дисперсии.

Свойство1. Дисперсия постояннойвеличины равна нулю. D[C]=0

Свойство2. Постоянный множительможно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е. D[СX]=С²D[X].

Свойство3. D_x=M[X²]-m_x².

Пример 13.Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения

Решение.

Воспользуемся формулой D_x=M[X²]-m_x².

Найдем М[X]=(-3)·0,2+(-1)·0,5+2·0,3=-0,5;

M[X²]=(-3)²·0,2+(-1)²·0,5+2²·0,3=3,5; следовательно,

D_x=3,5-(-0,5)²=3,5-0,25=3,25. Можно вычислить σ_x =  =  ≈ 1,80.

Таблица соотношения начальной буквы фамилии студента и варианта контрольных заданий

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ