Вероятность попадания случайной величины в промежуток и в точку

Если известна функция распределения F(x) случайной величины Х, то

P( α ≤ Х < β )=F(β)-F(α).

Дискретная случайная величина

Случайная величина Х называется дискретной,если ее спектр дискретный.

Законом распределения дискретной случайной величины Х является ряд распределения, т.е. перечисление всех возможных значений Х и их cоответствующих вероятностей:

р_i=P(X=x_i), где i=1;2;...;n;...

Многоугольником распределенияназовем ломаную, соединяющую последовательно точки (х₁;р₁),(х₂;р₂),...,(х_n;р_n).

Пример 10.Среди шести элементов два изношенных. Составить ряд распределения случайной величины Х- числа изношенных элементов среди трех наудачу отобранных. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение.

Случайная величина Х может принимать значения: 0; 1; 2.

Условие нормировки: 0,2+0,6+0,2=1.

Найдем F(x).

Если x из (-∞;0], то F(x)=P(X<x)=0;

если x из (0;1], то F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0,2;

если x из (1;2], то F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0,2+0,6=0,8;

если xиз (2;+ ∞ ), F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,2+0,6+0,2=1.

Следовательно,

Непрерывная случайная величина

Случайная величина Х называется непрерывной,если ее функция распределения F(x) непрерывна и имеет непрерывную производную везде, кроме, быть может, конечного числа точек. Из определения следует, что непрерывная случайная величина имеет непрерывный спектр(если случайная величина имеет непрерывный спектр, то из этого не следует, что она непрерывна). Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, то случайная величина называется смешанной.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности)непрерывной случайной величины X называется функция f(x) равная F’(x).

Отсюда следует, что

т.е. f(x) является законом распределениянепрерывной случайной величины X.

Свойства f(x):

• f(x)≥ 0, т.к. F(x)- неубывающая функция,

•

• Р(α≤X<β)=P(α≤X≤β)=Р(α<X≤β)=Р(α<x<β)= .

Пример 11.Плотность вероятности непрерывной случайной величины X

Найти

• значение параметра a ;

• функцию распределения F(x);

• вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы один раз попадет в промежуток (0;3).

Решение.

• Из условия нормировки  следует

, откуда . Итак

Если x из (-∞;2], то F(x)==0;

если x из (2;4], то F(x)=;

если x из (4;+ ∞ ), F(x)=.

Следовательно,

• Р(0<X<3)= F(3)-F(0)=

Основные числовые характеристики случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать о случайной величине лишь характерные черты закона распределения, которые в сжатой форме выражают существенные особенности распределения.

О каждой случайной величине необходимо, прежде всего, знать ее среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины, а также число, характеризующее степень разбросанностивозможных значений относительно среднего значения случайной величины. Для более полного описания случайной величины используют и другие числовые характеристики.