Частота события и ее свойства

Математика: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы / И.Ю.Коробейникова - Челябинск: ЧОУ ВПО Южно-Уральский институт управления и экономики, 2013.- 40с.

Ó Издательство ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант №___

Выполнил(а) студент(ка)

___________________________________________________________

(Фамилия, имя, отчество)

___________________________________________________________

(Адрес проживания)

Группа ______________________

Дата отправления «__» ____201_г.

Результат проверки____________________

Проверил преподаватель _______________

Дата проверки________________________

г.Курган, 2016

ВВЕДЕНИЕ

Цель курса математики состоит в освоение необходимого математического аппарата. Это необходимо для анализа моделирования и решения прикладных задач, с использованием ЭВМ.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке умения моделировать реальные процессы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Теория вероятностей

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых повторениях испытаний.

Случайные события

Основные понятия.

Под испытанием (опытом)понимается осуществление некоторого комплекса условий. Событиемназовем всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Событие A в опыте называется достоверным, если при повторениях опыта оно всегда происходит.

Событие B в опыте называется невозможным, если при повторениях опыта оно никогда не происходит.

Событие в опыте называется случайным, если при повторениях опыта оно иногда происходит, иногда нет. Случайные события обозначаются А, В, С и т.д.

Два события называются несовместными(совместными), если появление одного из них исключает (не исключает) появление другого. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если они попарно несовместны. Несколько событий в опыте называются совместными,если совместны хотя бы

два из них.

События в опыте называются равновозможными,если условия их появления одинаковы и нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Полной группой событийназывается несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример 1Опыт - бросание игральной кости; события :

А₁ - выпадение одного очка,

А₂ - выпадение двух очков,

А₃ - выпадение трех очков,

А₄ - выпадение четырех очков,

А₅ - выпадение пяти очков,

А₆ - выпадение шести очков,

В - выпадение четного числа очков,

С - выпадение более семи очков,

D - выпадение не менее трех очков,

E - выпадение не более шести.

Достоверное событие в данном опыте - E, невозможное событие - С, остальные события - случайные. Первые шесть событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ не могут быть выражены через более простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно выразить через более простые события : либо наступит А₂, либо наступит А₄, либо А₆; следовательно , элементарным событием событие В не является.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и  (не А).

Пример 2. Опыт - два выстрела по мишени; события: А - ни одного попадания, - хотя бы одно попадание.

 Алгебра событий

Суммой или объединением событийА₁, А₂,..., А_n назовем событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

А₁+А₂+...+А_n=А₁ÈА₂È...ÈА_n.

Произведением или пересечением событийА₁, А₂,..., А_n назовем событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

А_1· А₂·…·А_n =A1∩A2∩...∩An.

Пример 3. Опыт - два выстрела по мишени. Событие А_i - попадание в мишень при i - м выстреле (i =1;2).

Тогда событие В=А₁+А₂ - хотя бы одно попадание, событие С= ₁+ ₂ – хотя бы один промах, событие D= А₁·А₂ - попадание в цель дважды, Е= А₁· ₂ + ₁·А₂ - ровно одно попадание.

Частота события и ее свойства

Если опыт воспроизведен n раз, а событие А произошло m раз, то частотой(относительной частотой)события А назовем Р*(А)= , т.е. отношение числа испытаний, в которых появилось событие А, к числу всех испытаний.

Свойства частоты.

1) 0≤Р*(А)≤ 1, так как 0≤m≤n, следовательно, 0 ≤  ≤ 1

2) частота достоверного события равна 1, так как m=n.

3) частота невозможного события равна 0, так как m=0.

4) Р*(А+В)=Р*(А)+Р*(В)-Р*(А·В).

Условной частотойсобытия В относительно события А, обозначение Р*(В/А), назовем частоту события В при условии, что событие А уже произошло, то есть это число равно отношению числа опытов N_AB, в которых произошли события А и В одновременно, к числу опытов N_A, в которых появилось событие А, то есть P*(B / A) =

5) Р*(А·В)=Р*(А)·Р*(В/А).

Частота случайного события обладает свойством устойчивости,т.е. при увеличении числа опытов значения частоты события группируются около некоторого числа, характеризующего возможность появления данного события в данном опыте.