Основные соотношения процесса рождения и гибели 

Вероятность поступления в СМО ровно i заявок за время t		(1)
Функция распределения случайной величины T		(2)
Плотность распределения случайной величины T		(3)
Вероятность попадания на   (малый) отрезок времени Δt хотя бы одного события	≈	(4)
Финальные вероятности состояний		(5)
		(6)

Многоканальная система с отказами              

Финальные вероятности состояний		(7)
		(8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки		(9)
Относительная пропускная способность СМО		(10)
Абсолютная пропускнаяя способность СМО		(11)
Среднее число каналов  занятых обслуживанием		(12)

Одноканальная СМО с ограниченной очередью

Финальные вероятности состояний		(13)
	,	(14)
Вероятность отказа в обслуживании заявки	pотк = рm+1 = ρm+1p0.	(15)
Относительная пропускная способность СМО		(16)
Абсолютная пропускная способность		(17)
Среднее число заявок, стоящих в очереди		(18)
Cреднее число заявок, находящихся в СМО		(19)
Среднее время пребывания заявки в СМО		(20)
Среднее время пребывания заявки в   очереди		(21)

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Финальные вероятности состояний		(22)
	,	(23)
Вероятность отказа в обслуживании заявки	pотк = 0	(24)
Относительная пропускная способность СМО		(25)
Абсолютная пропускная способность		(26)
Среднее число заявок, стоящих в очереди		(27)
Cреднее число обслуживаемых заявок		(28)
Cреднее число заявок, находящихся в СМО		(29)
Среднее время пребывания заявки в СМО		(30)
Среднее время пребывания заявки в   очереди		(31)

Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Финальные вероятности состояний
	,
Вероятность образования очереди		(34)
Вероятность отказа в обслуживании заявки		(35)
Относительная пропускная способность СМО		(36)
Абсолютная пропускная способность		(37)
Среднее число заявок, стоящих в очереди		(38)
Cреднее число обслуживаемых заявок		(39)
Cреднее число заявок, находящихся в СМО		(40)
Среднее время пребывания заявки в СМО		(41)
Среднее время пребывания заявки в   очереди		(42)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Финальные вероятности состояний
	,
Вероятность образования очереди		(46)
Вероятность отказа в обслуживании заявки		(47)
Относительная пропускная способность СМО		(48)
Абсолютная пропускная способность		(49)
Среднее число заявок, стоящих в очереди		(50)
Cреднее число обслуживаемых заявок		(51)
Cреднее число заявок, находящихся в СМО		(52)
Среднее время пребывания заявки в СМО		(53)
Среднее время пребывания заявки в   очереди		(54)

Примеры решения задач

Пример 01. Техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Возможные состояния системы можно перечислить:   S₀ – оба узла исправны;   S₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен;   S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃  – оба узла ремонтируются. Граф состояний системы имеет следующий вид:

Найти предельные вероятности для системы S (  при   λ₀₁ =1  ,   λ₀₂ = 2,   λ₁₀ = 2,   λ₁₃ = 2,   λ₂₀ = 3,   λ₂₃ = 1,   λ₃₁ = 3.   λ₃₂ =2.

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной СМО, имеет вид

Решив систему , получим   p₀ =0,4 , p₁ =0,2    ,   p₂ =0,27 ,   p₃ = 0,13, т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии   S₀ (оба узла исправны), 20% – в состоянии   S₁  (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% – в состоянии   S₂  (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии   S₃  (оба узла ремонтируются).

Пример 02. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях предыдущего примера. Если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение.

Из предыдущего примера следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p₀ +p₂ =0,4+0,27 = 0,67,   а второй узел p₀ +p₁ =0,4+0,2 = 0,6 .

В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную

p₁ +p₃ =0,2+0,13 = 0,33,   а второй узел p₂ +p₃ =0,27+0,13 = 0,4.

 Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

D=0,67·10+0,6·6 - 0,33·4 - 0,4·2= 8,18 ден. ед.

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла. Это следует из равенства a=1/𝜆  для показательного распределения (потоков) с параметром λ , о котором упоминалось ранее. Напомним, что a – это математическое ожидание случайной величины T – промежутка времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке. Таким образом, теперь интенсивности потоков событий будут равны:   λ₁₀ = 4,   λ₂₀ = 6,   λ₃₁ = 6, λ₃₂ = 4 (остальные остались прежними). При этом система линейных алгебраических уравнений, описывающая стационарный режим системы S , вместе с нормировочным условием примет вид:

Решив систему, получим p₀ =0,6 , p₁ =0,15 , p₂ =0,2 , p₃ =0,05 . Учитывая, что:

p₀ +p₂ =0,6+0,2  = 0,8,

 p₀ +p₁ =0,6+0,15 = 0,75,

p₁ +p₃ =0,15+0,05 = 0,2,  

 p₂ +p₃ =0,2 +0,05 = 0,25.

а затраты на ремонт первого и второго узлов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед. вычислим средний чистый доход в единицу времени:

D₁=0,8·10+0,75·6 - 0,2·8 - 0,25·4= 9,9 ден. ед.

Така как D₁ больше D примерно на 21% , то экономическая целесообразность ускорения ремонтов очевидна.

Пример 03.Секретарю директора завода поступает в среднем 1,2 телефонных вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет 2 минуты. Найти основные характеристики СМО и оценить эффективность её работы.

Решение:

По условию λ = 1,2 (мин^)-1,  μ = 2(мин)^-1,  откуда  ρ = λ/μ = 0,6. По формулам (5) и (6) находим р_обс и р_отк:

Таким образом, обслуживается лишь 62,5% звонков, что нельзя считать удовлетворительным. Абсолютная пропускная способность СМО

А = λQ = λp_обс = 1,2·0,625(мин)^-1 = 0,75(мин)^-1,

т.е. в среднем обслуживается 0,75 звонка в минуту.

Пример 04.Найти оптимальное число телефонных номеров на предприятии, если заявки на переговоры поступают с интенсивностью 1,2 заявки в минуту, а средняя продолжительность разговора по телефону составляет t_обс = 2 минуты. Найти также вероятность того, что в СМО за 3 минуты поступит: а) точно 2 заявки, б) не более 2-х заявок.

Решение:

Имеем: λ = 1,2 мин^-1,  μ = 1/t = 0,5 мин^-1,  ρ = λ/μ = 2,4.  Оптимальное число каналов n неизвестно.  Используя формулы (1-8)   найдём характеристики СМО при различных значениях n и заполним таблицу 1.

Для простейшего потока вероятность p_i(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле

Оптимальным числом телефонных номеров можно считать n = 6, когда выполняется 97,6% заявок. При этом за каждую минуту обслуживается в среднем 1,171 заявки. Для решения 2-го и 3-го пунктов задачи воспользуемся выше приведенной формулой. Имеем:

а)

б) +