Дослідимо гетероскедастичність на основі тесту Гольфельда—Квандта.

Алгоритм:

1. Вибираємо ту пояснювальну змінну, яка може викликати гетероскедастичність залишків. У даному випадку припусти-
мо, що інвестиції можуть викликати гетероскедастичність за-
лишків.

Сортуємо статистичну інформацію за змінною Х₁ (інвестиції)

2. Визначимо параметр c зі співвідношення:

,

де n — кількість спостережень (n = 20);

c — кількість спостережень, які необхідно в даному тесті відкинути всередині сукупності спостережень (c = 6).

3. Виділяємо дві сукупності спостережень (по сім спостережень) і за цими сукупностями будуємо економетричні моделі.

Скориставшись функцією «Лінійн» (програма Exсel), дістали такі результати для першої та другої сукупностей:

Сума квадратів залишків становить

4. Розраховуємо критерій R^*

.

Порівняємо його з критичним значенням F-критерію для обраного рівня значущості (0,05) і ступеня свободи (n – c)/2 – m.

R^* = 0,213659;                                               F_крит = 9,276619.

Оскільки R^* < F_крит                                                                   (0,21 < 9,28), то інвестиції не викликають гетероскедастичність залишків, тобто зміна дисперсії залишків не може викликатися зміною цієї пояснювальної змінної.

Тест Глейзера.На основі цього тесту визначається чиста та мішана гетероскедастичність. За цим тестом необхідно знайти залежність між модулем залишків та кожною пояснювальною змінною:

                                  .

У цій моделі перевіряється достовірність оцінок параметрів  та

Побудуємо прості економетричні моделі модуля залишків залежно від кожної пояснювальної змінної:

5,586 – 0,046x₁;

(1,888)                        (–1,204)

4,049 – 0,071x₂;

(2,249)                         (–1,226)

7,051 – 0,041x₃.

(1,424)                       (–1,012)

Перевіримо статистичну значущість оцінок параметрів кожної з цих моделей, застосувавши t-статистику.

У дужках під оцінками параметрів моделей приведені фактичні значення t-критеріїв. Табличне значення цього критерію за рівня значущості a = 0,05 і ступеня свободи n – m = 18 дорівнює:

t_{(0,05) крит} = 2,10.

Порівнюючи фактичні значення t-критеріїв з табличним, робимо висновок, що в другому рівнянні оцінка параметра a₀ є статистично значущою. Отже, можна дійти висновку про наявність мішаної гетероскедастичності, яка викликається зміною тих пояснювальних змінних, які впливають на залежну змінну, але не включені до моделі.

Щоб оцінити параметри моделі узагальненим методом найменших квадратів, необхідно сформувати матрицю S.

Побудова матриці P, S, P^–1, S^–1.Оскільки ми маємо справу з мішаною гетероскедастичністю, то використовуємо третю гіпотезу щодо визначення l_і:

.

Для розрахунку  використаємо модель:

бо в цій моделі оцінка параметра  статистично значуща.

Підставивши в цю модель фактичні значення пояснювальної змінної Х₂, дістанемо розрахункові залишки за модулем та квадрати цих залишків:

Значення вектора abs( ) є діагональними елементами матриці P^–1, а значення вектора (abs(  — діагональними елементами матриці S^–1.

Запишемо матрицю S, діагональні елементи якої визначаються за такою формулою: , де

Оцінювання параметрів моделі методом Ейткена за допомогою матриці S^–1. Оператор оцінювання запишеться у такому вигляді:

Прогноз залежної змінної.Точковий прогноз за наявності гетероскедастичності має такий вигляд:

,

де — вектор оцінок параметрів моделі, здобутих методом Ейткена;

— останній діагональний елемент матриці Р^–1 (1,409299);

— останній елемент залишків, здобутих методом 1МНК (0,624327).

Запишемо вектор прогнозованих пояснювальних змінних:

.

Тоді прогнозне значення прибутку буде таке: .

Для того щоб знайти інтервальний прогноз прибутку, необхідно обчислити стандартну похибку прогнозу. Вона визначається за формулою:

,

,

,

.

Перейдемо від стандартної похибки прогнозу до граничної, яка подається у такому вигляді:

,

Додавши похибку до точкового прогнозу, дістанемо максимально можливе значення залежної змінної на перспективу, а віднявши — мінімальне значення:

61,531049,

58,595781.

Отже, прогнозне значення прибутку міститиметься в інтервалі:

8.1.1. Поняття автокореляції. Означення 8.1. Автокореляція — це наявність взаємозв’язку між послідовними елементами часового чи просторового ряду даних.

В економетричних дослідженнях часто виникають такі ситуації, коли дисперсія залишків є сталою, але спостерігається їх коваріація. Це явище називають автокореляцією залишків.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої пояснювальної змінної, то буде спостерігатись і кореляція послідовних значень залишків.

Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфікації економетричної моделі, зокрема наявність автокореляції залишків може означати, що необхідно ввести до моделі нову незалежну змінну.

У загальному випадку ми вводимо до моделі лише деякі з істотних змінних, а вплив змінних, яких виключено з моделі, має позначитися на зміні залишків. Існування кореляції між послідовними значеннями виключеної з розгляду змінної не обов’язково має викликати відповідну кореляцію залишків, бо вплив різних змінних може взаємно погашатися. Якщо кореляція послідовних значень виключених з моделі змінних спостерігається, то загроза виникнення автокореляції залишків стає реальністю.

Проілюструємо проблему автокореляції залишків на прикладі простої економетричної моделі. Нехай

                                                                              (8.1)

де припускається, що залишки  задовольняють схему авторегресії першого порядку (стаціонарний марковський процес 1-го порядку), тобто залежать тільки від залишків попереднього періоду:

 (8.2)

причому , а для  виконуються такі властивості:

де  — номер зрушення (лагу) залишків щодо періоду t.

Величина r є коефіцієнтом автокореляції залишків, що характеризує рівень взаємозв’язку кожного наступного значення з попереднім, тобто коваріацію залишків.

Специфікація моделі (8.1) на відміну від моделей, які розглядались у розд. 7, має індекс t, що свідчить про її динамічний характер, тобто t — період часу, для якого будується така модель на основі динамічних (часових) рядів вихідних даних.

Розглянемо залишки моделі u_t, враховуючи (8.2):

Звідси

                                                                                                                                                                           (8.3)

де  — лаг залишків.

Оскільки , то

Визначимо диперсію залишків u_t.

.

Враховуючи, що послідовні значення  незалежні, запишемо

де .

Тоді

                                                                                . (8.4)

Коваріація послідовних значень залишків запишеться у такому вигляді:

і в загальному випадку

                                                                                , (8.5)

тобто для моделі (8.1) не задовольняється гіпотеза про незалежність послідовних значень залишків.

Вираз (8.5) можна записати так:

. (8.6)

Це означає, що за наявності автокореляції залишків друга необхідна умова подається у вигляді:

,

де S — матриця коефіцієнтів автокореляції s-го порядку для ряду  або

Якщо

,

то

              .                                                   (8.7)

Порівнюючи матрицю, яку маємо в даному разі, з матрицею за наявності гетероскедастичності, побачимо, що вони істотно відрізняються одна від одної. Це пов’язано з тим, що природа порушення другої умови для застосування методу 1МНК для явищ гетероскедастичності та автокореляції різна.

Отже, для гетероскедастичних залишків, розглянутих у розд. 7, існує одна форма порушення стандартної гіпотези, згідно з якою  Для автокореляційних залишків ми стикаємося з іншою формою порушення цієї гіпотези.

8.1.2. Наслідки автокореляції залишків. Знехтувавши автокореляцією залишків і оцінивши параметри моделі 1МНК, дійдемо таких трьох основних наслідків.

1. Оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок  можуть бути невиправдано великими.

2. Оскільки вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами, то статистичні критерії t- і F-статистики, які знайдено для лінійної моделі, практично не можуть бути викорис­тані в дисперсійному аналізі при автокореляції.

3. Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі призводить, як правило, до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з доволі великою вибірковою дисперсією.

Нагадаємо, що за відсутності автокореляції залишків матриця коваріацій для вектора оцінок  така: .      (8.8)

Припустимо, що незалежні змінні і залишки можна подати у вигляді стаціонарних марковських процесів першого порядку:

                                 (8.9)

Якщо коефіцієнти lіr додатні, то говорять про додатну автокореляцію. Від’ємна автокореляція в економетричних моделях спостерігається дуже рідко.

Залишки  і  взаємно незалежні, і їхні автокореляційні матриці діагональні, тобто вони не автокорельовані. Тоді можна показати, що звичайний метод найменших квадратів дає при достат­ньо великому n таку оцінку дисперсії параметрів :

. (8.10)

Із (8.10) бачимо, що зміщення  дисперсії оцінок парамет­рів тим більше, чим більші значення l і r (більша автокореляція). Нехай l= r = 0,5, тоді зміщення . Цей множник і буде загубленим при використанні 1МНК, що призводить до заниження дисперсії приблизно на 40 % порівняно з її справжнім значенням. Зі збільшенням l і r, наприклад, r = l = 0,8, зміщення буде , тобто істинне значення дисперсії в чотири з половиною разу перевищуватиме те, яке дістали, застосувавши 1МНК.

Якщо додатна автокореляція спостерігається і в залишках, і в незалежній змінній, то 1МНК дає зміщення і для дисперсії залиш­ків. Припустивши, як і раніше, що  і  підлягають однаковій схемі авторегресії, знайдемо:

.                                                                                                                                              (8.11)

Якщо r = l = 0,5 і n = 20, то , тобто недооцінка дисперсії залишків становить близько 3,5 %, а при r = l = 0,8; n = 20 ця недооцінка дорівнюватиме приблизно 24,2 %. .

8.2. Перевірка наявності автокореляції

8.2.1. Критерій Дарбіна—Уотсона. Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна—Уотсона (DW):

                                                                       , (8.12)

який може набувати значень із проміжку [0, 4]: .

Якщо залишки  є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. За додатної автокореляції DW < 2, а за від’ємної DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) для різної кількості спостережень n і кількості незалежних змінних m за вибраного рівня значущості a. Табличні значення мають нижню межу DW₁ і верхню — DW₂.

Коли DW_факт < DW₁, залишки мають автокореляцію. Якщо Dw_факт > DW₂, приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. У разі DW₁ <DW< DW₂ конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, збільшуючи сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Вибірковий розподіл значень критерію Дарбіна—Уотсона залежить від емпіричних спостережень пояснювальних змінних і, якщо взяти до уваги цю обставину, можна стверджувати: параметр r для генеральної сукупності має тісний зв’язок з критерієм DW. Якщо r = 1, то значення DW = 0, при r = 0 DW = 2 і при r = –1 значення критерію DW = 4. Наведені співвідношення показують, що існують області, в яких застосування критерію Дарбіна—Уотсона не може дати певних результатів, про що вже було сказано. Верхні та нижні межі критерію DW визначають межі цієї області для різних розмірів вибірки, заданої кількості пояснювальних змінних та певного рівня значущості.

Шкалу визначення наявності автокореляції на основі порівняння фактично розрахованого критерію Дарбіна—Уотсона та його критичних значень зображено на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Шкала визначення наявності автокореляції
за критерієм Дарбіна—Уотсона

Із рис. 8.1 випливає, що коли фактичне значення DW потрапляє в межі від нуля до нижньої критичної межі DW₁, то гіпотезу про наявність автокореляції необхідно прийняти.

Якщо фактичне значення критерію DW потрапляє в межі від верхнього критичного рівня DW₂ до двох, то гіпотезу про наявність автокореляції потрібно відхилити. Коли фактичне значення критерію DW міститься в межах від нижнього до верхнього критичного значення, то існує невизначеність щодо наявності автокореляції залишків. У цьому випадку гіпотезу про наявність автокореляції доцільніше прийняти, ніж відхилити.

Якщо фактичне значення критерію DW більше від 2, то, як було зазначено, може йтися про від’ємну автокореляцію. Оскільки критичні значення критерію DW табульовані для додатної автокореляції, то щоб зробити висновки стосовно від’ємної автокореляції, необхідно відняти розраховане значення критерію DW від 4 і цю різницю порівнювати з критичними значеннями критерію DW, як це було показано раніше.

üПриклад 8.1. Нехай обсяг вибірки складається з 20 спостережень. На основі цієї вибірки побудовано модель, яка включає в себе три пояснювальні змінні. Наведено табличні значення критерію Дарбіна — Уотсона DW₁ і DW₂ для 1 %- і 5 %-го рівнів значущості:

DW₁                                                                                                                                   DW₂

a₁ = 1 %                                 0,77                                                                 1,41

a₂ = 5 %                                  1,00 1,68

Для додатної автокореляції залишків ці значення є межами п’яти інтервалів, за якими можна дійти таких висновків:

1) 0 £ DW £ 0,77— нульова гіпотеза відхиляється як з 1 %-м, так і за 5 %-м рівнями значущості;

2) 0,77 £ DW £ 1,00 — нульова гіпотеза відхиляється з 5 %-м рівнем значущості; для 1 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

3) 1,00 £ DW £ 1,41 — критерій не дає певних результатів як для одного, так і для другого рівня значущості;

4) 1,41 £ DW £ 1,68 — нульова гіпотеза не відхиляється з 1 %-м рівнем значущості, для 5 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

5) 1,68 £ DW £ 2,00 — нульова гіпотеза не відхиляється для обох рівнів значущості.

Дж. Джонстон [2] наводить ряд спостережень, які свідчать про те, що верхній рівень DW₂ ближчий до істинного значення прийняття гіпотези, яка перевіряється. Отже, якщо виникають сумніви, можна обмежитись одним показником — DW₂. Це означає, що сам критерій також може мати зміщення, він указує на наявність серійної кореляції першого порядку і там, де її не повинно бути. Дж. Джонстон зауважує, що оскільки наслідки некоректного прийняття нульової гіпотези можуть бути набагато серйознішими, ніж її некоректного відхилення, то в сумнівних випадках нульову гіпотезу, як правило, краще відхилити.

8.2.2. Критерій фон Неймана. Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана:

                                                                       .                                                                                            (8.13)

Звідси . При  Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і заданої кількості спостережень. Якщо , то існує додатна автокореляція, у протилежному випадку — вона відсутня.

8.2.3. Нециклічний коефіцієнт автокореляції. Цей коефіцієнт показує ступінь взаємозв’язку залишків кожного наступ­ного значення з попереднім, а саме:

1-й ряд — ;

2-й ряд — .

Він обчислюється за формулою:

                    .                                                                                   (8.14)

Коефіцієнт  може набувати значень в інтервалі (–1; +1). Від’ємні значення його свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції, тобто стверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції залишків. Оскільки ймовірнісний розподіл  встановити важко, то на практиці замість  часто застосовують циклічний коефіцієнт автокореляції

8.2.4. Циклічний коефіцієнт автокореляції. Він виражає ступінь взаємозв’язку рядів:

1-й ряд — , ;

2-й ряд — , .

Циклічний коефіцієнт обчислюється за формулою:

                                                        .                                                                                        (8.15)

Для досить довгих рядів вплив циклічних членів на значення коефіцієнта  неістотний, тому можна вважати, що ймовірнісний розподіл  наближається до розподілу . Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто u₁ = u_n, то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному. Очевидно, що коли залишки не містять тренду, то припущення про рівність u₁ = u_n не далеке від реальності і циклічний коефіцієнт автокореляції наближається до нециклічного.

Фактично обчислене значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду n. Якщо , то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати у вигляді

. (8.16)

На практиці часто замість (8.16) обчислюють

                                                                       .                                                                                     (8.17)

8.3. Оцінвання параметрів моделі
з автокорельованими залишками

8.3.1. Метод Ейткена. Нехай в економетричній моделі

                                                                       y_t = a₀ + a₁x_t + u_t ,                                                                                                     (8.18)

u_t = u_t + e_t , ,

де e_t — нормально розподілені випадкові залишки. Тоді, щоб усунути автокореляцію залишків u_t, потрібно перетворити основну модель так, щоб вона мала нормально розподілені залишки e_t. Оскільки e_t = u_t – ru_{t – 1}, то для такого перетворення запишемо модель для попереднього періоду

                                                                       y_{t – 1} = a₀ + a₁x_{t – 1} + u_{t – 1}.                                                                                          (8.19)

Помножимо ліву і праву частину її на  та віднімемо від моделі для періоду t (8.18).

У результаті дістанемо таку економетричну модель:

         y_t – y_{t – 1} = a₀(1– ) + a₁(x_t – x_{t – 1}) + (u_t – u_{t – 1}).                                                                                               (8.20)

Оскільки в цій моделі (u_t – u_{t – 1}) дорівнює e_t, то очевидно, що коли вихідні дані перетворені, а саме y_t – y_{t – 1}, x_t – x_{t – 1}, то для оцінювання параметрів можна застосувати 1МНК. При цьому для перетворення можна використати перші різниці y_t – y_{t – 1} і x_t – x_{t – 1}, коли  наближається до одиниці. Якщо  близьке до нуля, то вихідні дані можна не перетворювати. Зауважимо, що коли = 1, у перетвореній моделі буде відсутній вільний член (як виняток може бути ситуація, коли вихідна модель містить лінійний часовий тренд). Якщо залишки вихідної моделі характеризувались додатною автокореляцією, використання перших різниць може спричинити виникнення від’ємної автокореляції.

Параметр r наближено можна знайти на основі залишків, якщо обчислити циклічний коефіцієнт кореляції r⁰. На практиці, як правило, r » r⁰, але r⁰ коригується на величину зміщення.

Усі ці міркування покладено в основу методів оцінювання параметрів економетричної моделі з автокорельованими залишками.

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, що має автокореляцію залишків, можна застосувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена), який базується на скоригованій вихідній інформації з урахуванням коваріації залишків.

Крок 1.Оцінювання параметрів моделі за методом 1МНК.

Крок 2. Дослідження залишків на наявність автокореляції.

Крок 3. Формування матриці коваріації залишків V або S.

Крок 4. Обернення матриці V або S.

Крок 5.Оцінювання параметрів методом Ейткена, тобто згідно з (8.21), (8.22).

üПриклад 8.2.За допомогою двох взаємозв’язаних часових рядів про роздрібний товарообіг та доходи населення побудувати економетричну модель, що характеризує залежність роздрібного товарообігу від доходу. Вихідні дані наведено в табл. 8.1.

Таблиця 8.1

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

y_t — роздрібний товарообіг у період t, залежна змінна;

x_t — дохід у період t, пояснювальна змінна.

Звідси

y_t = f (x_t , u_t),

де u_t — стохастична складова, залишки.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

y_t = a₀ + a₁x_t + u_t ;

;

u_t = y_t – .

3. Визначаємо оцінки параметрів моделі ,  за методом найменших квадратів, припускаючи, що залишки u_t не корельовані:

де — матриця, транспонована до X.

;

; ;

;

;

Економетрична модель має вигляд

4. Знаходимо розрахункові значення роздрібного товарообігу на основі моделі  і визначаємо залишки u_t (табл. 8.2).

Таблиця 8.2

Записуємо оцінку критерію Дарбіна—Уотсона:

.

Порівнюємо значення критерію DW з табличним для a= 0,05 і n = 10. Критичні значення критерію DW у цьому разі такі:

DW₁ = 0,879 — нижня межа; DW₂ = 1,320 — верхня межа.

Оскільки критерій DW_факт < DW₁, то можна стверджувати, що залишки u_t мають додатну автокореляцію.

Наявність чи відсутність автокореляції залишків можна також визначити за критерієм фон Неймана.

Критерій фон Неймана  Це значення порів­нюється з табличним;  при n=10 і рівні значущості = 0,05. Оскільки , то існує додатна автокореляція залишків.

6. Застосовуюючи метод Ейткена, оцінюємо параметри економетричної моделі з автокорельованими залишками. Оператор оцінювання записуємо так:

де  — матриця, обернена до матриці S;  — матриця, обернена до матриці V.

Матриця S — матриця коваріацій залишків вигляду

,

.

7. Щоб сформувати матрицю S або V, необхідно визначити величину r, яка характеризує взаємозв’язок між послідовними членами ряду залишків. Нехай залишки описуються автокореляційною моделлю першого порядку u_t = ru_{t – 1}+ e_t ,

.

Отже, матриця S набирає вигляду:

1);

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

; .

Остаточно дістаємо економетричну модель:

                                                                  (1)

Рік	yt		vt		vt – vt–1	(vt – vt–1)2	vtvt–1
1	24,0	23,784	0,216	0,0468	—	—	—
2	25,0	24,731	0,269	0,0724	0,0526	0,0028	0,0528
3	25,7	25,678	0,022	0,0005	–0,2774	0,0612	0,0058
4	27,0	27,401	–0,401	0,1608	–0,4226	0,1786	–0,0086
5	28,8	29,727	–0,927	0,8586	–0,5255	0,2762	0,3716
6	30,8	31,449	–0,649	0,4215	0,2774	0,0769	0,6016
7	33,8	33,775	0,025	0,0006	0,6745	0,4549	–0,0164
8	38,1	38,081	0,019	0,0004	–0,0066	0,00004	0,0005
9	43,4	43,508	–0,108	0,0116	–0,1262	0,0159	0,0020
10	45,5	45,316	0,184	0,0937	0,2912	0,0848	0,9908
				1,6069		1,1514	0,9908

8. Знайдемо розрахункові значення  на основі побудованої економетричної моделі та визначимо залишки v_t (табл. 8.3).

Таблиця 8.3

9. Обчислимо критерій Дарбіна—Уотсона і фон Неймана:

.

Порівнявши його з критичним значенням при n = 10 і a = 0,05, коли DW_факт< DW₁, дійдемо висновку, що ми не звільнились від автокореляції залишків. Це означає, що вихідна гіпотеза, коли залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку, не виконується. Якщо залишки описуються авторегресійною схемою вищого порядку, то доцільно виконати оцінювання параметрів моделі іншими методами, наприклад методом Кочрена—Оркатта або Дарбіна, які буде розгляну-
то далі.

 

10. Визначаємо оцінку параметрів моделі, скориставшись обер­неною матрицею S^–1 вигляду:

.

Підставивши r = 0,77, дістанемо:

.

 

Вектор оцінок параметрів моделі:

.

Отже, ; , і економетрична модель подається у вигляді

                                                                       .                                                                                        (2)

Порівнюючи економетричні моделі (1) і (2), бачимо, що при оцінюванні параметрів методом Ейткена за допомогою матриці S^–1, коли коваріація залишків для  відсутня, дістаємо ті самі результати, що й раніше.

 

8.4. Прогноз

Теоретичні дослідження прогнозу в разі порушення умови (4.3) було розглянуто в розд. 7.

Нехай маємо модель:  де  і  яка побудована для n спостережень.

Використаємо цю модель для визначення прогнозу залежної змінної  для періоду n + 1,коли в цьому періоді задано незалежну змінну . Формула дає найкращий незміщений прогноз:

де  — оцінка параметрів моделі за методом Ейткена,

і W — вектор коваріації розрахованих залишків для n спостережень і прогнозних залишків u_n+1:

.

Якщо залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку, то з урахуванням рівності  можна записати:

.

Отже, вектор W можна дістати, помноживши  на останній стовпець матриці V. Але оскільки , то добуток  являє собою останній рядок матриці E, помножений на .

Звідси

Формула прогнозу має такий вигляд

                                                                                                                                                          (8.30)

де  — прогнозний рівень залежної змінної;  — прогнозне значення незалежної змінної.

üПриклад 8.5. Використовуючи економетричну модель, яку побудовано за даними про роздрібний товарообіг та дохід (приклад 8.2), визначити прогнозний рівень товарообігу, коли дохід становитиме x_n+1= 55.

Розв’язання

1. Запишемо співвідношення, яке визначатиме прогнозний рівень залежної змінної

де Х_n+1  — точкова оцінка прогнозної залежної змінної;  — за­лишки прогнозу, а u_n — залишки періоду t(t = n), здобуті згідно з 1МНК.

2. Скористаємося економетричною моделлю роздрібного товарообігу (приклад 8.2) для обчислення прогнозу:

=0,442 + 0,861x_n+1 = 0,442 + 0,861 55 = 0,442 + 47,35 = 47,8.

3. Знайдемо оцінку залишків прогнозу , де r — коефіцієнт коваріації залишків;  — залишки за моделлю для t = 10.

4. Визначимо точковий прогнозний рівень роздрібного товарообігу на одинадцятий рік (n + 1):

= 47,8 + 0,14 = 47,94.

üПриклад 8.6. Виконаємо точковий та інтервальний прогноз прибутку на основі економетричної моделі, здобутої у прикладі 8.4.

Спочатку задамо очікувані значення пояснювальних змінних:

;                              

точковий прогноз прибутку на основі моделі запишеться так:

Для визначення інтервального прогнозу розрахуємо стандартну похибку прогнозу за формулою:

.

Визначимо граничну похибку прогнозу за формулою:

Додавши граничну похибку до точкового прогнозу, дістанемо максимально можливий рівень прибутку:

Віднявши граничну похибку від точкового прогнозу, дістанемо мінімально можливий рівень прибутку:

У результаті маємо:

Порівняємо отримані значення прогнозу прибутку зі значеннями прогнозу, здобутими на основі оцінок моделей за 1МНК:

Як бачимо, точковий та інтервальний прогнози прибутку на основі економетричних моделей, параметри яких оцінені 1МНК та УМНК, відрізняються в даному випадку несуттєво. Зауважимо, що оцінки за УМНК та кількісні характеристики, здобуті на основі цих оцінок, ніколи не будуть гіршими ніж за 1МНК.

 

 

6.5. Методи звільнення від мультиколінеарності

Найпростіше позбутися мультиколінеарності в економетричній моделі можна, відкинувши одну зі змінних мультиколінеарної пари. Однак на практиці вилучення якогось чинника часто суперечить логіці економічних зв’язків.

Позитивно впливає на звільнення від мультиколінеарності суттєве збільшення сукупності спостережень, але цей підхід не завжди можна реалізувати на практиці. Можна також перетворити певним чином пояснювальні змінні моделі:

а) знайти відхилення від середньої;

б) замість абсолютних значень змінних обчислити відносні (темпи зростання, приросту);

в) нормалізувати пояснювальні змінні;

г) використати «рідж-регресію».

Розглянемо сутність «рідж-регресії» як одного з ефективних способів усунення мультиколінеарності.

Згідно з теоремою Гаусса—Маркова оцінки — 1МНК є оцінками з найменшою середньоквадратичною похибкою серед усіх незміщених і лінійних щодо до Y оцінок. Але в економетрії доведено, що може існувати зміщена оцінка невідомих параметрів
A, яка є точнішою з погляду середнього квадрата похибки  ніж найкраща серед незміщених оцінок.

Доведено існування таких незміщених оцінок, для яких можна, змінюючи розмір сукупності спостережень, діставати багато значень зміщених лінійних оцінок — 1МНК ( ) для кожної вибірки і для них будувати щільність розподілу — . Аналогіч­но можна дістати множину незміщених оцінок  і для них знайти щільність закону розподілу — .

Нехай надалі Δ визначає допустиму граничну похибку в оцінці істинного значення вектора А, тобто якщо , то оцінка вважається незміщеною (якісною), а при  — навпаки.

Розглянемо щільності розподілу незміщених та зміщених оцінок параметрів моделі (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Щільність розподілу незміщеної та зміщеної оцінок
істинного значення А

Згідно з рис. 6.1 можна зробити такі висновки:

⇐ Предыдущая1234