Економетрична модель, що будується на основі системи рівнянь, крім регресійних функцій, може містити тотожності.

Побудова будь-якої економетричної моделі, незалежно від того, на якому рівні і для яких показників вона будується, здійснюється як послідовність певних кроків.

Крок 1. Знайомство з економічною теорією, висунення гіпотези взаємозв’язку. Чітка постановка задачі.

Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі ті види функ­цій, які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв’язків, необхідно сформулювати теоретичні уявлення і прийняті гіпотези у вигляді математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв’язки між основними визначальними змінними, припускаючи, що решта змінних є випадковими.

Крок 3. Формування масивів вихідної інформації згідно з метою та завданнями дослідження.

Крок 4. Оцінка параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів. Аналіз залишків дає змогу відповісти на запитання: чи не суперечить специфікація моделі застосуванню 1МНК.

Крок 5. Якщо деякі передумови застосування 1МНК не виконуються, то для подальшого аналізу треба замінювати специфікацію або застосовувати інші методи оцінювання параметрів.

Крок 6. Верифікація моделі та її оцінок параметрів.

Крок 7. Прогноз на основі моделі.

Схематично всі кроки можна зобразити так:

4.2. Специфікація моделі

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів — теоретичного, якісного аналізу взаємозв’язків та емпіричної інформації. Теоретична інформація знаходить своє відображення у специфікації моделі.

Специфікація моделі — це аналітична форма економетричної моделі на основі досліджуваних чинників. Вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, має ймовірнісні характеристики, які притаманні стохастичним залишкам моделі.

З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі якісного теоретичного аналізу взаємозв’язків між економічними показниками, можна навести клас функцій, які можуть описувати ці взаємозв’язки:

1) лінійна функція:

2) степенева функція:

3) гіпербола:

де ;

4) квадратична функція:

де

У цих функціях:

y — залежна (пояснювана) змінна;

 — незалежні, або пояснювальні, змінні;

 — параметри функцій.

Серед наведених видів функцій три останні є нелінійними. Але за допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна звести до лінійного виду.

Лінійні функції найпоширеніші в економетричному моделюванні, тому обґрунтування економетричних методів розглянемо на базі лінійних моделей.

Маючи на увазі, що вибір аналітичної форми економетричної моделі не може розглядатись без конкретного переліку незалежних змінних, специфікація моделі передбачає добір чинників для економетричного дослідження.

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів повертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид функції, що застосовується. Адже коли вид функції та її складові не відповідають реальним процесам, то йдеться про похибки специфікації.

Похибки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування при побудові економетричної моделі істотної пояснювальної змінної;

2) введення в модель незалежної змінної, яка не є істотною для вимірюваного зв’язку;

3) використання не відповідних математичних форм залежності.

Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та навіть не введеними змінними. Оцінки параметрів також будуть зміщеними (в цьому випад­ку вони вищі), тому застосування способів перевірки їх значущості може призвести до хибних висновків щодо значень пара­метрів генеральної сукупності.

Для відшукання цього джерела помилок специфікації досить важко запропонувати будь-які загальні міркування, оскільки незалежна змінна, що не враховується (або незалежні змінні), може бути одним із багатьох можливих пояснень. Про необхідність введення до моделі цих незалежних змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з’ясувати, наскільки істотним є введення до моделі будь-якої змінної. Так, наприклад, якщо побудувати економетричну модель на базі покрокової регресії (метод покрокової регресії розглянемо пізніше), то можна досить чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поведінки випадкового відхилення у помилково специфікованій моделі.

Друга помилка специфікації. У випадку, коли до моделі вводиться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на відміну від першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. При цьому за допомогою звичайних процедур можна дістати також незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Проте це не означає, що економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок «неістотних» змінних. Адже існує ненульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв’язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв’язок між змінними буде виміряно неправильно.

Третя помилка специфікації. Припускається, що залежна змінна є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної, а насправді йдеться про квадратичну, кубічну чи якусь поліноміальну залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і за першої помилки специфікації: оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вихідними даними спостережень.

Адекватність побудованої моделі можна встановити, проаналізувавши залишки моделі. Вони обчислюються як різниця між фактичними значеннями залежної змінної і розрахованими за моделлю. Щоб перевірити, чи має розподіл залишків невипадковий характер, можна скористатися критерієм Дарбіна—Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму економетричної моделі.

4.3. Передумови застосування методу
найменших квадратів (1МНК)

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд

 (4.1)

де Y — вектор значень залежної змінної; X — матриця пояснювальних змінних розміром  (n — кількість спостережень, m — кількість змінних); A — вектор параметрів моделі; u — вектор залишків.

Застосовуємо 1МНК для оцінювання параметрів моделі, якщо виконуються наведені далі умови.

1) Математичне сподівання залишків дорівнює нулю:

 (4.2)

2) значення u_i вектора залишків u незалежні між собою і мають сталу дисперсію:

 (4.3)

3) пояснювальні змінні моделі не пов’язані із залишками:                                                                              (4.4)

4) пояснювальні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, пояснювальні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто матриця Х має повний ранг.

Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну і до модельної специфікації не введено всіх основних пояснювальних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків та відсутність кореляції між ними. Наявність сталої дисперсії називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись лише тоді, коли залишки u є похибками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховано в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів. Якщо між залишками існує залежність (автокореляція), то вона також впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і пояснювальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель будується на базі одночасних структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовується, як правило, дво- або трикроковий методи найменших квадратів.

Четверта умоваозначає, що всі пояснювальні змінні, які входять до економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив пояснювальних змінних, які були б зовсім не пов’язані між собою. Тоді щоразу необхідно з’ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище називають мультиколінеарністюзмінних, що призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, підвищує їхню чутливість до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей за допомогою 1МНК. Отже, це явище з усіх поглядів є, звичайно, небажаним. Але воно досить поширене, тому методи виявлення мультиколінеарності й способи її врахування за допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання параметрів є важливою економетричною проблемою.

4.4. Оператор оцінювання 1МНК

Оцінимо методом 1МНК параметри моделі (4.1), для якої виконуються чотири розглянуті щойно умови.

Рівняння (4.1) подамо у вигляді: . Тоді суму квадратів залишків u можна записати так:

                                                                                                                            (4.5)

Продиференціюємо цю умову за  і прирівняємо похідні до нуля:

або                                 (4.6)

X¢ — матриця, транспонована щодо матриці пояснювальних змінних X.

Звідси

                                                                                (4.7)

Рівняння (4.6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а формула (4.7) показує, що вектор  є розв’язком системи таких рівнянь.

Формули (4.6) і (4.7) можна дістати й інакше.

Так, помноживши рівняння (4.1) зліва спочатку на  а потім на матрицю  дістанемо:

Оскільки  то справджується рівність

Згідно з (4.4), коли ,  отже,                                

Неважко показати, що оцінки Â, обчислені за (4.7), мінімізують суму квадратів залишків u.

Згідно з цим значення вектора Â є розв’язком системи нормальних рівнянь

Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від свого середнього, то матрицю  називають матрицею моментів.

У цьому разі числа, розміщені на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.

Отже, структура матриці моментів відбиває зв’язки між пояснювальними змінними. Чим ближчі показники коваріацій до значень дисперсій, тим ближчий визначник матриці  до нуля і тим гірші оцінки параметрів . Далі буде показано, що стандарт­ні похибки параметрів  прямо пропорційні до значень, розміщених на головній діагоналі матриці .

Розглянемо приклад оцінювання параметрів моделі 1МНК.

üПриклад 4.1. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування, загальними витратами та розміром сім’ї. Вихідні дані наведено в табл. 4.1.

Розв’язання. Запишемо економетричну модель:

,

де Y, — відповідно фактичні та розрахункові значення за моделлю тижневих витрат на харчування;

X₁ — загальні витрати;

X₂ — розмір сім’ї;

u — залишки;

, ,  — оцінки параметрів моделі.

Таблиця 4.1

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд:

де ;                    

 — матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X крім двох векторів незалежних змінних містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. не дописуючи вектора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рівністю:

де  — середнє значення залежної змінної; ,  — середні значення незалежних змінних  і .

Згідно з оператором оцінювання знайдемо:

;

;

;                                                                                    4) .

Отже, економетрична модель має вигляд

.

Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:  звідки

.

Тобто, коли за всіх однакових умов незалежна змінна  (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна  (оцінка витрат на харчування) збільшується (зменшується) на 0,2 одиниці. Якщо за інших незмінних умов незалежна змінна  (розмір сім’ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна  (оцінка витрат на харчування) збільшується (зменшується) на 6,97 одиниці.

4.5. Властивості оцінок параметрів

Оцінки параметрів  є вибірковими характеристиками, що мають такі властивості:

1) незміщеності;                                                                                          3) ефективності;

2) обґрунтованості;                                                                                     4) інваріантності.

Означення 4.2.Вибіркова оцінка  параметра А називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

.                                                                  (4.8)

Застосовуючи оператор математичного сподівання до (4.7), дістаємо:

Оскільки за першою умовою , то . Отже, оцінка параметрів 1МНК є незміщеною.

üПриклад 4.2. Визначити кількісну залежність між прибутком фірми і основними видами ресурсів, які вона вкладає у свою господарську діяльність:

· інвестиції;

· основні виробничі фонди;

· фонд робочого часу.

Для побудови економетричної моделі використаємо статистич­ну інформацію, що наведена в табл. 4.2.

Таблиця 4.2

1. Ідентифікуємо змінні моделі.

Y — вектор прибутку, залежна або пояснювана змінна;

X₁ — вектор інвестицій (незалежна або пояснювальна змінна);

X₂ — вектор основних виробничих фондів, незалежна або пояснювальна змінна;

X₃ — вектор фонду робочого часу (незалежна або пояснювальна змінна).

2. Специфікуємо економетричну модель.

У лінійній формі:

Y = a₀ + a₁X₁ +a₂X₂ + a₃X₃ + u;

у степеневій формі:

.

У цих функціях a_j,  — параметри економетричної моделі;

u — стохастична або випадкова складова, яка визначає вплив усіх випадкових чинників на прибуток.

Подамо степеневу функцію в лінійно-логарифмічній формі:

LnY = lna₀ + a₁lnX₁ + a₂lnX₂ + a₃lnX₃ + lnu.

Запишемо розрахункові економетричні моделі на основі заданої статистичної інформації:

,

.

У цих розрахункових моделях ,  — оцінки параметрів моделі за сукупністю спостережень.

Вектор стохастичної складової визначається як різниця між векторами фактичного і розрахункового прибутку залежної змінної (надалі послуговуватимемося терміном «залишки»):

3. Оцінимо параметри цих економетричних моделей методом найменших квадратів, матричний оператор якого

Запишемо матрицю пояснювальних змінних: .

Транспонуємо матрицю Х:

Виконавши множення матриць  дістанемо:

.

Знайдемо матрицю, обернену до

.

Помножимо X´Y: .

Запишемо вектор :

.

Отже, дістанемо економетричну модель прибутку в лінійній формі:

.

Для побудови степеневої форми моделі прологарифмуємо вихідні дані:

Скориставшись функцією програми «Exсel» «ЛИНЕЙН», знай­демо оцінки параметрів:

0,044037;

0,495475;

– 0,10808;

1,099585;

                                         1,045.

Отже, економетрична модель прибутку у степеневій формі набирає вигляду .

Як бачимо, економетрична модель прибутку в лінійній формі відрізняється від моделі у степеневій формі. Ця різниця полягає передусім у тому, що оцінки параметрів в обох моделях мають різний економічний зміст.

У лінійній моделі оцінки параметрів  характеризують граничний приріст прибутку залежно від граничного приросту кожного ресурсу на одиницю (коли решта — сталі) і в тих одиницях, в яких вони подаються у вихідній інформації.

У степеневій моделі оцінки параметрів  характеризують кількісний зв’язок між прибутком та відповідно кожним ресурсом у відносному (відсотковому) виразі — еластичність. Тому їх потрібно тлумачити так: якщо інвестиції зростуть на 1 %, а основні виробничі фонди і фонд робочого часу не зміняться, то прибуток зросте на 0,495 % ; якщо основні виробничі фонди зростуть на 1 %, а решта ресурсів буде сталою, то прибуток зменшиться на 0,108 % ; і, нарешті, якщо фонд робочого часу зросте на 1 %, і решта ресурсів буде сталою, то прибуток зросте на 1,1 % .

Зміну напряму взаємозв’язку між прибутком та основними виробничими фондами у степеневій моделі можна пояснити особливостями статистичної інформації (можлива мультиколінеарність, автокореляція, про які йтиметься далі).

4.6. Коваріаційна матриця оцінок
параметрів моделі

За допомогою коваріаційної матриці розраховуються основні показники випадкового розсіювання оцінок  навколо відповідних істинних значень параметрів, що аналізуються, а також харак­теристики взаємозв’язків отриманих оцінок.

У класичній регресійній моделі Y = XA + u;вектор  і залежний від нього вектор  є випадковими змінними. До оператора оцінювання  входить вектор , а отже, оператор  також можна вважати випад­ковою функцією оцінювання параметрів моделі.

Відомо, що для характеристики випадкових змінних  поряд із математичним сподіванням застосовуються також дисперсія  і коваріація  (j ¹ k). Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю

.                                                                                                                      (4.12)

Оцінки коваріаційної матриці  використовуються для знаходження стандартних похибок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів . Вони використовуються й під час перевірки їхньої статистичної значущості.

На головній діагоналі матриці  містяться оцінки диспер­сій  j-ї оцінки параметрів, що ж до елементів  (j ¹ k), які розміщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коваріації між  і

Отже,

,                                                                                                                      (4.13)

де  — незміщена оцінка дисперсії залишків; .

Зауважимо, що матриця коваріації оцінок параметрів моделі характеризує також ступінь їх випадкового розсіювання, який обчислюється, як значення детермінанта коваріаційної матриці cov(A).

Детермінант коваріаційної матриці  є так званою узагальненою дисперсією, яка кількісно характеризує ступінь випадкового розсіювання значень векторної випадкової величини навколо свого середнього у відповідному багатовимірному просторі:

.                            (4.14)

Часто використовується й інша характеристика цього випадкового розсіювання значень багатовимірної випадкової величини — слід коваріаційної матриці tr:

                                                                                                                             (4.15)

Виходячи із додатної визначеності матриці  і змісту діагональних елементів , можна стверджувати, що величини, які визначені співвідношеннями (4.14) і (4.15), завжди додатні. Чим більше значення знайдених характеристик (детермінанта, сліду дисперсійно-кореляційної матриці), тим більша загальна варіація оцінок параметрів моделі).

Ступінь тісноти взаємозв’язку між окремими оцінками параметрів моделі  і  вектора  краще визначати на основі коефіцієнта кореляції, який, у свою чергу, визначається через елемен­ти коваріаційної матриці :

. (4.16)

Усе це говорить про те, що коваріаційна матриця вектора оцінок параметрів моделей містить досить важливу інформацію про їхню якість.

Незміщена оцінка дисперсії залишків розраховується так:

, (4.17)

де n — кількість спостережень; m — кількість змінних у моделі.

Оскільки вектор залишків , то добуток векторів  можна записати так:

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

.

Позначимо (k, j)-й елемент матриці  символом , тоді j-й елемент по головній діагоналі матриці  обчислюється за формулою:

                                                                            . (4.18)

Коваріації  що містяться за межами головної діагоналі, відповідно такі:

. (4.19)

üПриклад 4.3. Для економетричної моделі Y = 8,8 + 0,2Х₁ + + 6,97Х₂ + u, (приклад 4.1) обчислимо коваріаційну матрицю .

Отже, маємо:

; ;

;

n = 16; m = 2.

Розв’язання. 1. Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків , скориставшись співвідношенням:

;

;

.

2. Визначимо дисперсії оцінок :

 = 68,92 × 0,314 = 21,64;

 = 68,92 × 0,00003 = 0,00207;

 = 68,92 × 0,0165 = 1,137.

3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

 = 68,92 × (–0,00017) = –0,0118;

 = 68,92 × (–0,0446) = –3,0738;

 = 68,92 × (–0,00012) = –0,00827.

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій  указує на те, що зі збільшенням однієї оцінки параметрів інша зменшується в середньому і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

.

4. Запишемо стандартні похибки оцінок параметрів моделі:

;

;

;

.

Стандартні похибки характеризують середні лінійні коливання оцінок параметрів моделі навколо свого математичного сподівання. Чим менші ці похибки, тим стійкіші оцінки параметрів моделі. Остаточні висновки стосовно стійкості оцінок можна зробити лише тоді, коли порівняти її з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі.

Порівняємо кожну стандартну похибку  з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення :

;

;

.

Отже, стандартні похибки оцінок параметрів щодо рівня самих оцінок становлять відповідно 52,8 %, 23 % і 15 %, а це свідчить про зміщеність оцінок.

Це означає, що залишки можуть мати систематичну складову, яка зумовлюється неточною специфікацією моделі. Наприклад, не всі основні чинники, що впливають на тижневі витрати, пов’язані з харчуванням (скажімо, ціни на продукти харчування) внесено до моделі.

4.7. Прогноз залежної змінної.

Економетричне моделювання зв’язку між економічними показ­никами завжди складаєтьмя з трьох етапів: побудови економетричної моделі;перевірки статистичної значущості моделі та оцінювання її параметрів; прогнозування на основі моделі. Використаємо модель (4.1) для знаходження прогнозного значення y₀, яке відповідатиме очікуваним значенням матриці незалежних змінних X₀.

Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від y_i:

 (4.20)

де і — номер спостереження ( );  — вагові коефіцієнти значень  (їх потрібно вибрати так, щоб значення  було найкращим лінійним незміщеним прогнозом).

Оскільки  то незміщена точкова оцінка прогнозу

                                                                                (4.21)

де Х₀ — матриця очікуваних значень пояснювальних змінних.

Задаючи X₀, підставимо значення цього вектора в побудовану економетричну модель

                                                                          (4.22)

Щоб дістати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати середню похибку прогнозу.

Вона зростає з віддаленням прогнозного значення  від відповідного середнього значення вибірки.

Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу.

У матричному вигляді дисперсія похибки прогнозу подається так:

                                                                       .                                                                           (4.23)

Середньоквадратична похибка прогнозу

                                                                                                                                                   (4.24)

Довірчий інтервал для прогнозних значень

                                                                                                                     (4.25)

де t_a — критичне значення t-критерію при n – m ступенях свободи і рівні значущості a.

Зауважимо, що  є точковою оцінкою як математичного сподівання прогнозного значення , так і його індивідуального значення  для відповідних незалежних змінних , що лежить за межами базового періоду.

Для визначення інтервального прогнозу індивідуального значення  необхідно знайти відповідну стандартну похибку:

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначається як

або

üПриклад 4.4. Необхідно розрахувати для економетричної моделі (приклад 4.1) точковий та інтервальний прогнози математичого сподівання та індивідуального значення залежної змінної, коли для прогнозного періоду заданий вектор

.

Розв’язання. 1.                                                                         Визначимо точкові прогнозні значення залежної змінної, коли

: то .

Отже, y₀ можна інтерпретувати як точкову оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення витрат на харчування, коли відомі загальні витрати x₁ = 500 і розмір сім’ї становить x₂ = 6.

2. Визначаємо прогнозний інтервал математичного сподівання :

Стандартна похибка прогнозу математичного сподівання

.

3. Знайдемо інтервальний прогноз для . При цьому нехай a = 0,05 і n – m = 13; тоді t_0,05 = 2,160.

Отже,

і

150,62 – 2,160 × 21,95  150,62 + 2,160 × 21,95;

150,62 – 47,412  150,62 + 47,412;

103,208  198,032.

4. Обчислимо дисперсію і стандартну похибку прогнозу індивідуального значення :

.

Стандартна похибка прогнозу індивідуального значення y₀ така:

.

5. Визначимо інтервальний прогноз індивідуального значення y₀:

;

150,62 – 2,160 × 23,467  150,62 + 2,160 × 23,467;

150,62 – 50,689  150,62 + 50,689;

99,931  201,309.

Значення t_a знаходимо в таблиці при a = 0,05 і ступені свободи g = 13. У такому разі t_0,05 = 2,160.

Отже, з імовірністю р = 0,95 (a = 0,05) прогноз математичного сподівання М(y₀) потрапляє в інтервал [103,208; 198,032], а прогноз індивідуального значення — в інтервал [99,931; 201,309].

Можна також сказати, що з імовірністю р = 0,95 знайдені прогнози покривають М(y₀) і y₀, коли взяти досить велику кількість вибірок і для кожної з них обчислити інтервальні прогнози.

Економічна інтерпретація: якщо у прогнозному періоді загальні витрати мають рівень 500 одиниць, а сім’я складається з шести осіб, то середні витрати на харчування потрапляють в інтервал

103,208  198,032.

Водночас окреме (індивідуальне) значення цих витрат міститиметься в ширшому інтервалі:

99,931  201,309.

4.8. Оцінювання прогнозних можливостей моделі

Прогнозування залежної змінної на основі економетричної моделі потребує оцінювання прогнозних можливостей моделі.

Для такого оцінювання застосовують систему характеристик, які можна поділити на три групи:

· абсолютні;

· порівняльні;

· якісні.

Усі три групи характеристик належать до так званих похибок прогнозу залежної змінної.

Абсолютні похибки прогнозу

1. М.Е. — абсолютний показник зміщення прогнозу:

,

де  — кількість спостережень ; ,  — відповідно фактичні та розрахункові значення залежної змінної.

2. М.А.Е. — середня абсолютна похибка прогнозу:

.

3. М.S.E. — середньоквадратична похибка прогнозу:

M.E., M.A.E., M.S.E. — перші літери відповідних англійських назв показників, що використовуються у світовій економетричній літературі.

Наведені щойно абсолютні показники якості прогнозу залежать від кількісного рівня залежної змінної, а тому не можуть бути вичерпними характеристиками якості прогнозу. При цьому показник зміщення прогнозу істотно залежить від розміру сукупності спостережень, для якої перевіряються прогнозні можливості побудованої економетричної моделі. Чим більша сукупність спостережень, тим більше впевненості щодо наближення М.Е. до нуля, а отже, щодо відсутності зміщення прогнозу.

Розглянемо порівняльні показники оцінювання якості прогнозу.

1. М.Р.Е. — відносний показник зміщення прогнозу:

.

2. М.А.Р.Е. — середня відносна похибка прогнозу:

.

К_Т — коефіцієнт невідповідності Тейла:

.

Чим ближчі М.Р.Е. та коефіцієнт невідповідності Тейла до нуля, тим кращі прогнозні якості моделі. Рівень відносного показника М.А.Р.Е. та його тлумачення подано в табл. 4.3.

Таблиця 4.3

До якісних оцінок точності прогнозу можна віднести такі показники, що дають можливість провести певний аналіз похибок прогнозу, які трапилися раніше, розкласти їх на окремі складові. Такий аналіз особливо важливий для тих змінних, які можуть циклічно змінюватися, коли необхідно прогнозувати не лише загальний напрям розвитку, а й поворотні точки циклу. У цьому разі середньоквадратична похибка прогнозу дає змогу дослідити:

· частку зміщеності (В.Р.);

· частку дисперсії (V.P.);

· частку коваріації (С.Р.).

Очевидно, що в сумі ці частки мають дорівнювати одиниці.

Подамо формули розрахунку кожної складової похибки прогнозу.

; ;

.

У цих співвідношеннях  — стандартна похибка прогнозу; S_y — стандартна похибка фактичних значень залежної змінної; R — коефіцієнт кореляції; y_пр — прогнозне значення залежної змінної.

Частка зміщеності показує наявність похибки в оцінці основ­ної тенденції, тобто В.Р. > 0 лише тоді, коли середнє арифметичне значення прогнозів відрізняється від середнього арифметичного фактичних даних.

Частка дисперсії характеризує ступінь збігу стандартних відхилень прогнозу і фактичних значень, а отже, V.P. = 0 в тому разі, коли дисперсії однакові. Звідси доходимо висновку, що цей показник відбиває відповідність ступеня нестійкості прогнозних значень фактичним даним.

Частка коваріації свідчить про ступінь взаємозв’язку між прогнозними і фактичними значеннями. Аналізуючи цей показник можна виокремити ті випадки, коли прогноз задовільний за першими двома показниками (В.Р. і В.Р.), але за наявності коваріації характеризується взаємною компенсацію похибок для різних спостережень.

üПриклад 4.5.

Оцінити прогнозні якості економетричної моделі, побудованої у прикладі 4.2.

Розв’язання.1. Побудуємо економетричну модель на основі 16 спостережень, скориставшись даними табл. 4.2.

.

Зауважимо, що ця модель істотно відрізняється від моделі, побудованої на основі 20 спостережень (див. приклад 4.2), а також оцінки її параметрів відрізняються від оцінок розглянутої раніше моделі. Коли сукупність спостережень, як у даному разі, невелика, то зміна її завжди буде досить істотно впливати на зміну рівня оцінок параметрів моделі.

2. Підставивши в дану модель значення пояснювальних змінних за останні чотири місяці, дістанемо прогнозовані значення прибутку на ці місяці і запишемо фактичні:

3. Знайдемо відхилення цих розрахункових значень прибутку від фактичних:

Як бачимо, усі значення відхилень (залишків) додатні. Звідси їх модулі та абсолютні значення однакові, а це означає, що збігатимуться М.Е. і М.А.Е., а також М.Р.Е. і М.А.Р.Е.

4. Обчислимо абсолютні та порівняльні характеристики оцінки прогнозних якостей економетричної моделі.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

Аналізуючи здобуті характеристики, доходимо висновку, що побудована економетрична модель буде давати зміщений прогноз, а це означає, що залишки не є випадковими і ними не можна нехтувати, прогнозуючи прибуток за розглянутою моделлю. Зміщеність прогнозу характеризується порівняно великими значеннями похибок М.Е. та М.Р.Е. Наголосимо, що абсолютне зміщення М.Е. збігається з абсолютною похибкою прогнозу, а це означає, що точковий прогноз може бути зміщеним в бік збільшення.

Оскільки відносна похибка прогнозу М.А.Р.Е. = 7,39 % (що менше за 10 %) і коефіцієнт Тейла наближається до нуля, економетричну модель можна використовувати для прогнозування, враховуючи зміщення прогнозу.

4.9. Побудова економетричної моделі
на основі покрокової регресії