Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Cобственные числа для четвертого и пятого приближений, полученные при решении задачи (6.1) – (6.4) ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Отметим, что последние собственные числа как в четвертом, так и пятом приближениях почти в два раза отличаются от точных их значений. При использовании дополнительных граничных условий, даже если не требовать ортогональности невязки к собственной функции, получаются значительно более точные значения собственных чисел, а при выполнении ортогональности невязки – они практически совпадают с точными, причем, первое и второе собственные числа – с точностью соответственно до десятого и шестого знака после запятой. Этот факт можно объяснить тем, что при совместном использовании точных и приближенных аналитических методов без применения дополнительных граничных условий собственные числа определяются из системы алгебраических линейных уравнений, матрицы которых, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, при большом числе приближений, как правило, оказываются плохо обусловленными. В связи с чем, получаемые решения могут существенно отличаться от точных и особенно при малых значениях числа Фурье. Главное отличие изложенного выше метода с использованием дополнительных граничных условий состоит в том, что в системе алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов ( ) бóльшая часть уравнений разделяются (в одно уравнение входит лишь один неизвестный коэффициент) и, таким образом, легко может быть найдена бóльшая часть неизвестных коэффициентов. Относительно оставшихся коэффициентов в общем виде приходится решать лишь два-три алгебраических линейных уравнения, независимо от числа приближений. В результате система алгебраических уравнений при любом числе приближений решается на точном аналитическом уровне. Основную трудность здесь представляет нахождение решения характеристического уравнения относительно собственных чисел краевой задачи, степень которого с увеличением числа приближений возрастает. Математические методы решения таких уравнений разработаны. Ниже (см. § 6.2) будет показано, что решениями этих уравнений являются собственные числа краевых задач Штурма-Лиувилля.
На графиках рис. 6.3, 6.4 дано изменение невязки уравнения (6.1) для пяти членов ряда (6.22). Из анализа графиков следует, что при в диапазоне уравнение (6.1) удовлетворяется точно. Максимальная невязка имеет место вблизи точки . Невязка уравнения (6.1) в точке для становится практически равной нулю (рис. 6.4). Максимальная невязка начального условия (рис. 6.5) при наблюдается в точке . Это объясняется тем, что в точке в любой момент времени выполняется граничное условие 1-го рода. С увеличением числа приближений невязка начального условия уменьшается за исключением точки , где она всегда равна .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 192. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |