Тема 2.5. Численные методы решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Http://ru.wikiversity.org/wiki

Лекция 3

Тема 3.1. Приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности

Метод дополнительных граничных условий в нестационарных задачах теплопроводности

Настоящая глава посвящена спектральным задачам, лежащим в основе всей аналитической теории краевых задач переноса. При использовании для решения таких задач метода разделения переменных (метода Фурье) возникает необходимость нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи, полученным после разделения переменных в исходном уравнении. Такие функции известны лишь для классических дифференциальных уравнений (Штурма-Лиувилля, Бесселя, Лежандра и др.). Собственные числа находятся из граничных условий краевой задачи путём решения трансцендентных уравнений. При сложных дифференциальных уравнениях, когда неизвестны функции, удовлетворяющие им, трудности применения метода Фурье настолько возрастают, что во многих случаях он оказывается практически неприменим.

В настоящей работе для решения спектральных задач совместно с методом Фурье используются методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова-Галёркина). Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра  после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные граничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путём его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова-Галеркина позволяет находить высокой точности приближенные аналитические решения для всех тех краевых задач, уравнения (в частных производных) которых допускают разделение переменных. Такой подход значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова-Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий. Это могут быть задачи с несимметричными и неоднородными граничными условиями первого, второго и третьего рода, с переменным начальным условием и физическими свойствами среды, задачи теплопроводности для многослойных конструкций и другие задачи.