Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 1.1. Аналитические и численные методы решения задач теплопроводности
Тема 1.2. Точный аналитический метод – метод разделения переменных (метод Фурье)
Тема 1.3. Применение метода Фурье
Тема 1.4. Метод Л.В.Канторовича. Метод Л. В. Канторовича
В методе Канторовича задача о нахождении минимума функционала приводится к задаче решения системы не алгебраических, а обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных краевых условиях. Поэтому данный метод называется еще методом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так как полученную таким путем систему дифференциальных уравнений иногда удается решить точно, то считают, что метод Канторовича занимает промежуточное положение между точными аналитическими и прямыми методами. Основную идею метода Канторовича рассмотрим на примере решения уравнения Пуассона , (4.68) при нулевых граничных условиях на контуре . (4.69) Приближенное решение по методу Канторовича разыскивается в виде: , (4.70) где координатные функции выбираются так, чтобы они удовлетворяли условию (4.69) на прямых и ; – неизвестные функции. Краевой задаче (4.68), (4.69), как уже указывалось выше, соответствует задача об отыскании минимума функционала (4.71) при граничных условиях (4.69), где . (4.72) Таким образом, задача о минимуме функционала от функции двух переменных сведена к задаче определения минимума функционала от нескольких функций одного переменного. Как уже указывалось ранее, задача об отыскании минимума функционала типа (4.71), зависящего от нескольких функций одного переменного, в свою очередь сводится к задаче решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера следующего вида: ; , (4.73) где через обозначено некоторое фиксированное значение . Или поскольку , (4.74) где , (4.75) то ; (4.76) , (4.77) где , (4.78) . (4.79) Тогда система уравнений (4.73) примет вид: . (4.80) Полученную систему из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными необходимо решить при граничных условиях: . (4.81) В частном случае одного (первого) приближения задача сводится к определению одной функции из дифференциального уравнения (4.82) при граничных условиях . (4.83) В качестве примера на применение метода Канторовича найдем решение краевой задачи для прямоугольника ( ) в следующей математической постановке: ; (4.84) (4.85) . (4.86) Нахождение решения этой задачи равносильно решению задачи о минимуме интеграла (4.87) при условиях (4.85), (4.86). Решение задачи (4.84) – (4.86) в первом приближении принимается в виде: . (4.87) Соотношение (4.87) удовлетворяет граничному условию (4.86). Вычисляя коэффициенты в (4.82), получаем: ; ; (4.88) . Уравнение (4.82) при этом примет вид: . (4.89) Общее решение этого уравнения будет: . (4.90) Постоянные и определяются из граничных условий: . (4.91) Поскольку точное решение четная функция, то тоже четная функция и . Тогда используя условие , получаем . Откуда (4.92) и , а для температурного поля в первом приближении будем иметь . (4.93) |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 261. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |