ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ВЕКТОРНАЯ И СКАЛЯРНАЯ ФОРМЫ ЗАКОНА ФУРЬЕ

ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ

Рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности с температурами  и  и какую-либо точку , лежащую на одной из них (рис. 1.4). Перемещаясь из точки  вдоль любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. При перемещении по изотермической поверхности температура не изменяется. Если же перемещаться вдоль какого-либо направления , пересекающего изотермические поверхности, то наблюдается изменение температуры. Используя понятие производной скалярного поля по заданному направлению, можно описать его локальные свойства, т. е. изменение температуры  при переходе от точки  к близкой точке  по направлению . Скорость изменения температуры  в точке  в направлении  характеризуется производной функции :

.                       (1.3)

Производная функции  по направлению  вычисляется по формуле:

.

Рис. 1.4 Схема к определению теплового потока

Наибольшая разность температур на единицу длины вектора перемещения  наблюдается в направлении нормали  к изотермической поверхности (рис. 1.4). В соответствии с (1.3) максимальная скорость изменения температуры при этом равна пределу отношения изменения температуры  к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали , когда  стремится к нулю:

.             (1.4)

Таким образом, в любой точке  изотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Абсолютная величина этого вектора равна изменению температуры на единице длины перемещения в рассматриваемом направлении – скорости возрастания температуры (т. е. производной от температурной функции  по направлению нормали ). Такой вектор называют градиентом температуры в точке  или градиентом температурного поля и записывают в виде символа :

в декартовых координатах

;                              (1.5)

в цилиндрических координатах

;                         (1.6)

в сферических координатах

.                  (1.7)

Для обозначения вектора (1.5) в теории поля иногда применяют символ .

Согласно сказанному выше, можно записать:

,                                    (1.8)

т. е. длина вектора  равна скорости возрастания температуры в этом направлении. Здесь и всюду далее – единичный вектор нормали. Температурный градиент показывает, насколько интенсивно меняется температура тела.

Производная от функции  по направлению нормали  и вектор  связаны соотношением:

.                   (1.9)

Вектор нормали  к поверхности  в точке  может иметь два противоположных направления, одно из которых можно считать внешним по отношению к данной поверхности, а другое внутренним. Независимо от того, как выбрано направление нормали , вектор (1.5) всегда направлен в сторону возрастания температуры.

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ВЕКТОРНАЯ И СКАЛЯРНАЯ ФОРМЫ ЗАКОНА ФУРЬЕ

В теле, не находящемся в полном тепловом равновесии (т. е. обладающим неравномерным распределением температуры), всегда происходит перенос теплоты. Отсюда следует, что для передачи теплоты теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента. В этом смысле температурный градиент является основным физическим параметром, определяющим условие возникновения теплового процесса. Следовательно, соотношение  является необходимым условием возникновения внутри тела теплового потока. Тепловой поток в отличие от температуры (величины скалярной) имеет вполне определенное направление, а именно: от точек тела с более высокой к точкам с более низкой температурой. Таким образом, тепловой поток можно рассматривать как вектор, направленный в сторону уменьшения температуры, а поле тепловых потоков – векторным. Для математического описания поля тепловых потоков вводится вектор , называемый вектором плотности теплового потока. Под вектором плотности теплового потока в точке  температурного поля понимается вектор, направление которого совпадает с направлением переноса теплоты. Абсолютная величина этого вектора выражает тепловой поток, измеряемый количеством теплоты, проходящей в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению потока в рассматриваемой точке. Обозначим через  количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площади  за время . Тогда абсолютное значение вектора плотности теплового потока можно записать в виде:

.                                    (1.10)

Формула (1.10) характеризует плотность теплового потока единичного элемента изотермической поверхности. Понятие плотности теплового потока, как будет показано ниже, применимо к любой, а не только к изотермической, поверхности.

Опыт показывает, что передача теплоты теплопроводностью происходит по нормали к изотермической поверхности от участков тела с большей к участкам с меньшей температурой. Следовательно, вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в направлении уменьшения температуры. Можно говорить о плотности теплового потока и вдоль любого другого направления , отличного от направления нормали . В этом случае плотность теплового потока в направлении  есть проекция вектора  на это направление, т. е. величина .

Идея о существовании органической связи между вектором плотности теплового потока и температурным градиентом легла в основу учения, созданного Фурье. Сущность гипотезы Фурье состоит в том, что тепловой поток через элемент изотермической поверхности вполне определяется значением температурного градиента в рассматриваемой точке . Действительный смысл этой связи заключается в том, что тепловые потоки в среде всегда
определенно направлены. Возникновение тепловых потоков вдоль изотермических поверхностей невозможно, так как по всей изотермической поверхности составляющая градиента температуры равна нулю. Следовательно, векто-

ры плотности теплового потока  и  направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны (рис. 1.5).

С увеличением перепада температур, т. е. с возрастанием температурного градиента, увеличивается и плотность теплового потока. Опыты показали, что плотность теплового потока можно считать пропорциональной первой степени удельного перепада температуры. Это и явилось основой гипотезы Фурье о наличии простейшей количественной зависимости между абсолютными значениями векторов плотности теплового потока и температурного градиента. На основе этих данных, а также соображений о противоположном направлении этих векторов, закон Фурье в векторном виде записывается следующим образом:

.                     (1.11)

Этот закон, сформулированный в виде гипотезы, был подтвержден многочисленными опытами. Выражение (1.11) используется при выводе уравнений, описывающих механизм процесса теплопроводности.

Наглядное представление о мгновенном распределении потоков теплоты могут дать линии, касательные к которым в каждой точке температурного поля совпадают с соответствующими нормалями к изотермическим поверхностям. Такие линии называются линиями теплового потока (рис. 1.5).

Рис. 1.5 Направление векторов плотности теплового потока и градиента температуры

Коэффициент пропорциональности  называется теплопроводностью и является физической константой, характеризующей теплопроводящие свойства материала данного тела. Подставляя в уравнение (1.11) единицы  и температурного градиента, найдем для  единицу измерения Вт/ (м К).

Числовое значение теплопроводности определяет количество теплоты, проходящее через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры, равном единице. Подобно другим величинам этого ряда (удельная теплоемкость, электрическое сопротивление, модуль упругости и т. п.) значение теплопроводности в общем случае зависит от природы вещества, его структуры, влажности, давления, температуры и других факторов. В большинстве случаев теплопроводность  для различных материалов определяется опытным путем. С повышением температуры  возрастает, а от давления она практически не зависит.

Зависимость теплопроводности от температуры в общем случае довольно сложная, однако для большинства твердых тел, жидкостей и газов при умеренных температурах она оказывается почти линейной, т. е. , где – теплопроводность при температуре ; b – постоянная, определяемая опытным путем. В классической аналитической теории теплопроводности величина  для упрощения выводов считается постоянной (т. е. ).

Соотношение (1.10) запишем в виде:

.                         (1.12)

Как отмечалось выше, нормаль  к элементу  изотермической поверхности может иметь два направления (направляющие косинусы этих направлений отличаются только знаками). Условимся считать тепловой поток положительным, если его направление совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательным, если оно ему противоположно. Для абсолютных значений векторов, входящих в равенство (1.11), следует, что . Теперь в равенстве (1.8) необходимо поставить знак минус, т. е.  и

.                                       (1.13)

Действительно, для нормали, совпадающей с направлением градиента, имеем ; перенос же теплоты происходит всегда в направлении уменьшения температуры, т. е. в противоположную сторону и, следовательно, должно быть , или, что то же самое, , что и объясняет знак минус в формуле (1.13). Изменив направление нормали на противоположное, имеем , но тогда  и, следовательно, знак минус сохраняется. Подставляя теперь в (1.12) вместо  правую часть равенства (1.13), можно записать закон Фурье в скалярной форме:

.                              (1.14)

Выражение (1.14) определяет количество теплоты, проходящее через элементарный участок  изотермической поверхности за время  по направлению нормали к площадке (рис. 1.6). Количество теплоты, прошедшее за время  через изотермическую поверхность конечных размеров площадью  будет определяться по соотношению:

.

Тепловой поток может быть определен вдоль любого направления через площадь, перпендикулярную этому направлению. Однако на практике часто встречаются случаи, когда площадка ориентирована в поле произвольным образом. Покажем, что равенство (1.14) справедливо для любых поверхностей, а не только для изотермических.

Рис. 1.6 Изотермическая поверхность

Выберем произвольную элементарную площадку  так, чтобы угол между нормалью  к ней и вектором плотности теплового потока  в рассматриваемой точке был равен  (рис. 1.7). Поток теплоты по нормали  в направлении  можно вычислить, используя соотношения (1.10) и (1.14):

;

,

так как .

Отсюда находим, что

.                   (1.16)

Общее количество теплоты, протекающее за время  через конечную площадь поверхности :

.                  (1.17)

В частном случае, когда тепловой режим стационарный и температурный градиент одинаков по всей площади поверхности , можно записать:

.

Рис. 1.7 Схема к определению теплового потока

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящей через какую-либо площадь поверхности твердого тела, нужно знать температурное поле внутри данного тела, что составляет главную задачу аналитической теории теплопроводности.

Так как  является составляющей вектора плотности теплового потока , т. е. , то из этого уравнения следует, что самым большим тепловым потоком, отнесенным к единице площади поверхности, будет тот, который рассчитан вдоль нормали  к изотермической поверхности .

В этом параграфе не рассматриваются усложненные анизотропией случаи теплопроводности. Для таких веществ как древесина, слюда и т. п., теплопроводность  зависит от направления, поэтому простое правило косинусов для получения составляющей  несправедливо.

Если спроектировать вектор плотности теплового потока на координатные оси, то в соответствии с его определением (1.11) можно записать:

                                    (1.18)

Тепловые потоки, выраженные соотношениями (1.18), являются составляющими вектора плотности теплового потока.