Композиция трехмерных преобразований

Путем  объединения  элементарных  трехмерных  преобразований  можно  получить другие преобразования. В этом разделе показано, как это сделать. Задача состоит в том,

чтобы преобразовать отрезки P1P2 и P1P3 (рис. 2.5) из начальной позиции в конечную. Точка Pi переносится в начало координат, P1P2 располагается вдоль отрицательной полуоси x, а P1P3 помещается в плоскости yz в той ее половине, где ось у положительна. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Как  и  прежде,  разобьем  сложную  задачу  на  более  простые.  В  данном  случае преобразование можно выполнить за четыре шага:

1. Перенос точки Pi в начало координат.

2. Поворот вокруг оси у до совмещения P1P2 с плоскостью уz.

3. Поворот вокруг оси x до совмещения P1P2 с отрицательной полуосью Z.

4.

Шаг 2. Поворот вокруг оси у. На рис. 2.5 показаны отрезки P1P2  после шага 1 и

проекция P1P2  на плоскость xz. Поворот производится на положительный угол  θ, для

которого

Как и ожидалось, x-компонента Р2 равна нулю.

Рис. 2.5. Композиция преобразований

где

Запись        обозначает длину      Результатом поворота  на шаге 3 является

т. е.     теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

Шаг 4. Поворот вокруг оси z. На рис. 2.6              показаны и после шага 3, когда

Р2'" лежит на отрицательной полуоси z, а Р3'" - в точке

Поворот производится на

положительный угол , для которого Шаг 4 является последним шагом, после которого получается конечный результат, показанный на рис. 2.6. Результирующая матрица

описывает искомое  преобразование, где

Рис. 2.6. Окончание композиции преобразований

Преобразование объектов

Преобразование объектов можно описать так. Пусть любая точка, принадлежащая

определенному объекту, имеет координаты (k1, k2,..., kn ) в n-мерной системе координат. Тогда преобразование объекта можно определить как изменение положения точек объекта. Новое положение точки пространства соответствует новым значениям координат (т1, т2,..., тn).

Соотношение между старыми и новыми координатами для всех точек объекта (т1, т2,..., тn) = F(k1, k2,..., kn ) и будет определять преобразование объекта, где F—функция преобразования.

Классифицировать преобразования объектов можно согласно типу функции преобразования и типу системы координат.

Например, преобразование объектов на плоскости можно определить так:

В трехмерном пространстве: