Глава 2. Координаты и преобразования

Координатный метод

Координатный метод был введен в XVII веке французскими математиками Р. Декартом и П. Ферма. На этом методе основывается аналитическая геометрия, которую

можно  считать  фундаментом  КГ.  В  современной  КГ  координатный  метод  широко используется.

Преобразование координат

Сначала рассмотрим общие вопросы преобразования координат. Пусть задана п- мерная система координат в базисе (k1, k2,.... kn), которая описывает положение точки в пространстве с помощью числовых значений кi. В КГ наиболее часто используются двумерная (n = 2) и трехмерная (n = 3) системы координат.

Если задать другую, N-мерную, систему координат в базисе (m1, m2,..., т) и поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение (если оно существует) можно записать в таком виде:

где Fi — функции обратного преобразования.

В случае если размерности систем координат не совпадают (п ≠ N), осуществить

однозначное преобразование координат чаще всего не удается. Например, по двумерным

экранным  координатам  нельзя  без  дополнительных  условий  однозначно  определить трехмерные координаты отображаемых объектов.

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме:

Здесь матрица коэффициентов (аij) умножается на матрицу-столбец (ki), и в результате будем иметь матрицу-столбец (mi ).

Мы  и  дальше  часто  будем  использовать  умножение  матриц,  поэтому  сделаем небольшой экскурс в матричную алгебру. Для двух матриц —

матрицы А размерами (т х п) и В — (n x p):

матричным произведением является матрица С = АВ размерами (m х р):

С                       =