Простейшие двумерные преобразования

Точки  на  xy-плоскости  можно  перенести  в  новые  позиции  путем  добавления  к координатам  этих  точек  констант  переноса.  Для  каждой  точки                       Р(х,  у),  которая

перемещается в новую точку Р'(х, у), сдвигаясь на Dx единиц параллельно оси x и на Dy

единиц параллельно оси у, можно написать уравнения:

На рис. 2.1 показана точка с координатами (1, 2), которая смещается на расстояние (5, 7), преобразуясь в точку (6, 9). Определяя векторы-строки

можно переписать это уравнение в векторной форме или более кратко

Объект можно перенести, применяя вышевыведенное уравнения к каждой его точке. Однако, поскольку каждый отрезок, описывающий объект, состоит из бесконечного числа точек, такой процесс длился бы бесконечно долго. К счастью, все точки, принадлежащие отрезку, можно перенести путем перемещения одних лишь крайних точек отрезка и последующего вычерчивания нового отрезка между получившимися в результате точками. Это справедливо также для масштабирования (растяжения) и поворота. На рис.

2.1 показан результат действия на контур домика операции переноса на расстояние (3, -4).

Рис. 2.1 Простейший перенос

Точки можно промасштабировать (растянуть) в Sx раз вдоль оси x: и в Sy раз вдоль оси у, получив в результате новые точки, с помощью умножения

Определяя S           как  , можно записать в матричной форме

или

На рис. 2.2 отдельная точка (6, 6) масштабируется с коэффициентами 1/2 по оси X и 1/3 по оси у. На этом же рисунке показан контур домика, промасштабированный с коэффициентами 1/2 по оси x и 1/4 по оси у. Отметим, что масштабирование производится относительно начала координат; в результате преобразования домик стал меньше и ближе к началу координат. Если бы масштабные множители были больше 1, то домик увеличился бы и отдалился от начала координат. Способы проведения масштабирования относительно других точек, отличных от начала координат, рассматриваются в одном из последующих разделов главы. Пропорции домика также изменились· было применено

неоднородное масштабирование, при котором Sх≠ Sу. Однородное масштабирование, для

которого Sx=Sy, не влияет на пропорции.

Точки могут быть повернуты на угол θ относительно начала координат, как показано на рис. 2.2 для точки Ρ (6, 1) и угла θ = 30°. Математически поворот определяется следующим образом:

В матричной форме мы имеем

или

где через R обозначена матрица поворота. На рис. 2.2 показан квадрат, повернутый на 45°. Как и в случае масштабирования, поворот производится относительно начала координат.

Рис. 2.2 Простейшие поворот и масштабирование

Однородные координаты и матричное представление двумерных

Преобразований

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются в виде

К сожалению, перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования и поворота (с помощью умножения). Хотелось бы представить их таким способом, чтобы все эти три элементарных преобразования можно было легко объединять вместе. Ниже в этом разделе показано, как это можно сделать.

Если мы  выразим  точки в  однородных координатах,  то  все три преобразования

можно реализовать с помощью умножений. Однородные координаты были введены в геометрии и впоследствии использованы в графике. С однородными координатами и преобразованиями над ними работают многие пакеты графических подпрограмм и некоторые дисплейные процессоры. В одних случаях эти координаты используются прикладной программой непосредственно при задании параметров для графического пакета, в других — применяются лишь внутри самого пакета и недоступны для программиста.

В однородных координатах точка Р (х, у) записывается как P(W∙ x, W ∙ y, W) для любого масштабного множителя W≠0. При этом если для точки задано ее представление в

однородных координатах Р(Х, Y, W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты

как x=X/W и y=Y/W. В этой главе W всегда будет равно 1, поэтому операция деления не

требуется. Однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом W двумерной плоскости в плоскость z=W (здесь z = 1) в трехмерном пространстве.

Точки теперь описываются  трехэлементными  вектор-строками,  поэтому матрицы

преобразований, на которые умножается вектор точки, чтобы получить другой вектор точки, должны иметь размер 3x3. Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных  координат следующим образом:

где

Теперь получим:

Действительно, результирующий перенос есть (Dx1+Dx2, Dy1+ Dy2). Матричное произведение в разных случаях называют объединением, соединением, конкатенацией и композицией матриц T(Dx1, Dy2) и T(Dx2, Dy2). В этой главе мы будем использовать термин композиция.

виде

Так же как последовательные переносы являются аддитивными, можно ожидать, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. Если заданы

то получим:

Таким  образом,  масштабирования  в  самом  деле  мультипликативны.  И,  наконец, уравнения поворота можно представить в виде:

Полагая

Имеем