Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Операции над комплексными числами в алгебраической форме
Два комплексных числа и называютсяравнымитогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть: Операции с комплексными числами в алгебраической форме выполняются по следующим правилам, аналогичным соответствующим правилам для многочленов (для любых ):
Пример 1. ; .
Пример 2. . Пусть дано комплексное число .Сопряженнымдля него называется комплексное число Пример 3. Сумма и произведение двух комплексных сопряженных чисел есть действительное число:
. Замечание:эти операции можно выполнять как действия с двучленами. Пример 4. ; . Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если , и – любые комплексные числа, то верны следующие равенства: 1) – коммутативный закон для сложения; 2) – ассоциативный закон для сложения; 3) – коммутативный закон для умножения; 4) – ассоциативный закон для умножения; 5) – дистрибутивный закон; Число , обратное данному числу , можно найти по формуле: Натуральные степени мнимой единицы принимают лишь четыре значения: , , и 1, определяемые формулами: , , , , где При возведении комплексного числа в натуральную степень пользуются формулой бинома Ньютона: . В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по соответствующим формулам и приводят подобные члены, в результате получают некоторое комплексное число . Пример 5. Возвести в указанные степени данные комплексные числа: , , . . . . Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу: , если . Числа и определяются из равенств: , , причем и будут действительными, так как при любых и выражения и являются положительными. Знаки и выбирают так, чтобы выполнялось равенство . Извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и лает два значения, различающиеся лишь знаком. Пример 6.Извлечь квадратный корень из числа . Обозначим . Так как в этом случае , , то получим: , . Так как , то , , , . Получаем два значения корня: и . 2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел Пусть дано комплексное число . Любое комплексное число вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел и . Упорядоченная пара действительных чисел задает на плоскости в прямоугольной системе координат вполне определенную точку с координатами аиb, гдеa– абсцисса,b– ордината точки. Поэтому можно сказать, что геометрически комплексное число есть некоторая точка на плоскости. Положение любой точки на плоскости определяется заданием ее радиус-вектора, т.е. вектора, идущего из начала координат в данную точку. Поэтому можно сказать, что любому комплексному числу на плоскости соответствует вполне определенный радиус-вектор. Пример 7. 2.4 Тригонометрическая форма комплексных чисел П усть дано комплексное число . Положение точки на плоскости вполне определяется не только заданием ее декартовых координатaиb, но и заданием ее полярных координатrи , гдеr– длина радиус-вектора этой тачки, а – угол между положительным направлением оси и радиус вектором этой точки. –тригонометрическая форма комплексного числа. r– модуль комплексного числа . Модулемкомплексного числаzназывают длину радиус-вектора точки, изображающей комплексное число или расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число. . –аргумент комплексного числа . Аргументомкомплексного числа называют множество величин углов, образованных положительным направлением и радиус-вектором точки, изображающейz. . Главным значением аргумента называют значение, принадлежащее промежутку (но можно использовать и промежуток ). При отыскании аргумента комплексного числа zнужно учитывать, в какой четверти находится точка, соответствующая данному комплексному числу. –угол первой четверти, т.к. 2. 5 Действия над комплексными числами в тригонометрической форме Пусть заданы два комплексных числа Пример 8. . Пример 9. Пример 10.Найти шестую степень числа . . Пример 11. Найти . Решение. Представим число –1 в тригонометрической форме: . , . Получаем последовательно три значения: : ; : ; : . Ответ. , . Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:
(1)
где e — 1-на из самых важных математических констант, которая определяется при помощи формулы:
i — мнимая единица.
Другими словами формула Эйлера заявляет, что для всякого действительного числа и комплексного числа x выполняется равенство, указанное выше. Дадим понятие функции от комплексного переменного. Пусть даны две плоскости комплексных чисел и (рис. 129). Рассмотрим некоторое множество Рис. 129 точек в плоскости и множество в плоскости . Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число , то говорят, что на множестве задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество в множество . Символически это обозначают так: Множество называют областью определения функции . Если каждая точка множества является значением функции, то говорят, что - область значений этой функции или образ множества при помощи функции . В этом случае говорят еще, что функция отображает на . Функцию можно записать в виде , где , , - действительные функции от переменных . Если каждому соответствует несколько разных значений , то функция называется многозначной. Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа. Говорят, что функция имеет предел в точке , равный числу , если . (1) В этом случае пишут . На языке функций и свойство (1) записывается в виде равенства (2) или, что все равно, в виде двух равенств , . (3) Для комплексных функций и имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций: (4) Как обычно, формулы (4) надо понимать в том смысле, что если пределы, стоящие в их правых частях, существуют, то существуют также пределы, стоящие в их левых частях, и выполняется соответствующее равенство. Функция называется непрерывной в точке , если для нее выполняется свойство , , . (5) Таким образом, непрерывная в точке функция должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и должно выполняться равенство (5). Равенство (5) эквивалентно двум равенствам: , . Следовательно, непрерывность в точке эквивалентна непрерывности функций и в точке . Из свойств (4) следует, что сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке комплексных функций и есть непрерывная функция в этой точке. В случае частного надо в этой формулировке считать, что . Пример 1. Функция задана на всей комплексной плоскости. Ее значения – неотрицательные числа. Эта функция непрерывна во всех точках комплексной плоскости: . Пример 2. . (6) Эта функция многозначная (бесконечнозначная); - главное значение аргумента . Пример 3. Функция . Она непрерывна: . Рис. 130 Но тогда и функция непрерывна как произведение конечного числа непрерывных функций. Множество комплексных чисел будем называть областью, если , как множество точек плоскости, открыто и связно. Область называется односвязной, если любая непрерывная замкнутая самонепересекающаяся кривая, проведенная в , ограничивает некоторую область , целиком принадлежащую . Область, не обладающую этим свойством, будем называть многосвязной. Пример 4. Кольцо - многосвязная (двусвязная) область. Кривая (рис. 130) принадлежит кольцу, но ограничивает область, не входящую целиком в него.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Типовые задачи 1.Операции с векторами на плоскости. Представлены векторы и. Определить: 1.1.Длины этих векторов. 1.2. . 1.3.Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
РЕШЕНИЕ: 2.Операциисвекторамивпространстве. Представлены векторы и . Определить: 1.4.Длины этих векторов. 1.5. . 1.6.Скалярное произведение данных векторов и угол между ними. 3.Векторное и смешанное произведение векторов. 1.7.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах
(1;0;1), (4;-1;-1), (1;0;1).
РЕШЕНИЕ:
4.Прямые и окружности на плоскости. 1.8.Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
1.9.Определить угловой коэффициент k и величину отрезка b, отсекаемого прямой
на оси OY. 1.10.Представлены уравнения прямых: Какие из заданных прямых параллельны? 1.11.Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент k=1. Определить длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой 3у+4х-12=0 с осями координат. 1.12.Определить угол между прямыми х -2у -2=0 и у= –2х+3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и . 1.13.Определить, с какими из прямых у=3, у = х, х=5 и у=2х пересекается окружность х2 + у2 = 25. 1.14.Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0. 1.15.Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой находится в точке С(-4;5). 1.16.Определить координаты центра окружности, заданной уравнением . 1.17.Составить уравнение касательной к окружности
в точке (3;-1). 1.18.Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
5.Кривые второго порядка. 1.19.Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2 = 900. 1.20.Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у. 1.21.Определить, какая кривая определяется уравнением: 1.. 2. . 3.. 4.. 6.Прямые, плоскости и сферы. 1.22.Определить, какое из уравнений: 2x-3y+z+1=0, x+2y-6=0 и x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ. 1.23.Определить координаты нормального вектора к плоскости 2x-3y+z-6=0. 1.24.Определить взаимное расположение прямых и. 7.Поверхности второго порядка. Определить, какая поверхность определяется уравнением 1.. 2.. 3..
8.Определители (детерминанты). Вычислить определители: 1. .
2. .
3.. 9.Операции с квадратными матрицами. Представлены матрицы: и . Определить: 1.5А - В. 2.3АT ·2B. 3.А·В. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 334. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |