Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Два комплексных числа и называютсяравнымитогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть:

Операции с комплексными числами в алгебраической форме выполняются по следующим правилам, аналогичным соответствующим правилам для многочленов (для любых ):

1. Сложение: .

Пример 1. ;

.

1. Умножение: .

Пример 2. .

Пусть дано комплексное число .Сопряженнымдля него называется комплексное число

Пример 3.

Сумма и произведение двух комплексных сопряженных чисел есть действительное число:

1. Чтобы разделить одно комплексное число на другое в алгебраической форме нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

.

Замечание:эти операции можно выполнять как действия с двучленами.

Пример 4. ;

.

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами.

Если , и – любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

1) – коммутативный закон для сложения;

2) – ассоциативный закон для сложения;

3) – коммутативный закон для умножения;

4) – ассоциативный закон для умножения;

5) – дистрибутивный закон;

Число , обратное данному числу , можно найти по формуле:

Натуральные степени мнимой единицы принимают лишь четыре значения: , , и 1, определяемые формулами: , , , , где

При возведении комплексного числа в натуральную степень пользуются формулой бинома Ньютона: . В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по соответствующим формулам и приводят подобные члены, в результате получают некоторое комплексное число .

Пример 5. Возвести в указанные степени данные комплексные числа: , , .

.

.

.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу: , если .

Числа и определяются из равенств: , , причем и будут действительными, так как при любых и выражения и являются положительными. Знаки и выбирают так, чтобы выполнялось равенство . Извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и лает два значения, различающиеся лишь знаком.

Пример 6.Извлечь квадратный корень из числа .

Обозначим . Так как в этом случае , , то получим:

, .

Так как , то , , , . Получаем два значения корня: и .

2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Пусть дано комплексное число .

Любое комплексное число вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел и .

Упорядоченная пара действительных чисел задает на плоскости в прямоугольной системе координат вполне определенную точку с координатами аиb, гдеa– абсцисса,b– ордината точки. Поэтому можно сказать, что геометрически комплексное число есть некоторая точка на плоскости.

Положение любой точки на плоскости определяется заданием ее радиус-вектора, т.е. вектора, идущего из начала координат в данную точку.

Поэтому можно сказать, что любому комплексному числу на плоскости соответствует вполне определенный радиус-вектор.

Пример 7.

2.4 Тригонометрическая форма комплексных чисел

П усть дано комплексное число . Положение точки на плоскости вполне определяется не только заданием ее декартовых координатaиb, но и заданием ее полярных координатrи , гдеr– длина радиус-вектора этой тачки, а – угол между положительным направлением оси и радиус вектором этой точки.

–тригонометрическая форма комплексного числа.

r– модуль комплексного числа .

Модулемкомплексного числаzназывают длину радиус-вектора точки, изображающей комплексное число или расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число. .

–аргумент комплексного числа .

Аргументомкомплексного числа называют множество величин углов, образованных положительным направлением и радиус-вектором точки, изображающейz. .

Главным значением аргумента называют значение, принадлежащее промежутку (но можно использовать и промежуток ).

При отыскании аргумента комплексного числа zнужно учитывать, в какой четверти находится точка, соответствующая данному комплексному числу.

–угол первой четверти, т.к.

2. 5 Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть заданы два комплексных числа

Пример 8. .

Пример 9.

Пример 10.Найти шестую степень числа .

.

Пример 11. Найти .

Решение.

Представим число –1 в тригонометрической форме: .

, .

Получаем последовательно три значения:

: ;

: ;

: .

Ответ. , .

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:

(1)

где e — 1-на из самых важных математических констант, которая определяется при помощи формулы:

i — мнимая единица.

Другими словами формула Эйлера заявляет, что для всякого действительного числа и комплексного числа x выполняется равенство, указанное выше.

Дадим понятие функции от комплексного переменного.

Пусть даны две плоскости комплексных чисел и (рис. 129). Рассмотрим некоторое множество

Рис. 129

точек в плоскости и множество в плоскости . Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число , то говорят, что на множестве задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество в множество . Символически это обозначают так:

Множество называют областью определения функции . Если каждая точка множества является значением функции, то говорят, что - область значений этой функции или образ множества при помощи функции . В этом случае говорят еще, что функция отображает на .

Функцию можно записать в виде

,

где

,

,

- действительные функции от переменных .

Если каждому соответствует несколько разных значений , то функция называется многозначной.

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Говорят, что функция

имеет предел в точке , равный числу , если

. (1)

В этом случае пишут

.

На языке функций и свойство (1) записывается в виде равенства

(2)

или, что все равно, в виде двух равенств

, . (3)

Для комплексных функций и имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:

(4)

Как обычно, формулы (4) надо понимать в том смысле, что если пределы, стоящие в их правых частях, существуют, то существуют также пределы, стоящие в их левых частях, и выполняется соответствующее равенство.

Функция называется непрерывной в точке , если для нее выполняется свойство

, , . (5)

Таким образом, непрерывная в точке функция должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и должно выполняться равенство (5). Равенство (5) эквивалентно двум равенствам:

, .

Следовательно, непрерывность в точке эквивалентна непрерывности функций и в точке .

Из свойств (4) следует, что сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке комплексных функций и есть непрерывная функция в этой точке. В случае частного надо в этой формулировке считать, что .

Пример 1. Функция задана на всей комплексной плоскости. Ее значения – неотрицательные числа. Эта функция непрерывна во всех точках комплексной плоскости:

.

Пример 2.

. (6)

Эта функция многозначная (бесконечнозначная); - главное значение аргумента .

Пример 3. Функция . Она непрерывна:

.

Рис. 130

Но тогда и функция непрерывна как произведение конечного числа непрерывных функций.

Множество комплексных чисел будем называть областью, если , как множество точек плоскости, открыто и связно.

Область называется односвязной, если любая непрерывная замкнутая самонепересекающаяся кривая, проведенная в , ограничивает некоторую область , целиком принадлежащую . Область, не обладающую этим свойством, будем называть многосвязной.

Пример 4. Кольцо - многосвязная (двусвязная) область. Кривая (рис. 130) принадлежит кольцу, но ограничивает область, не входящую целиком в него.

                             ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

                                                     Типовые задачи

1.Операции с векторами на плоскости.

 Представлены векторы

                                                     и.

 Определить:

1.1.Длины этих векторов.

1.2. .

1.3.Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

РЕШЕНИЕ:

2.Операциисвекторамивпространстве.

Представлены векторы

                                      и .

Определить:

1.4.Длины этих векторов.

1.5. .

1.6.Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

3.Векторное и смешанное произведение векторов.

1.7.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах 

                                 (1;0;1), (4;-1;-1), (1;0;1).

РЕШЕНИЕ:

4.Прямые и окружности на плоскости.

1.8.Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.

1.9.Определить угловой коэффициент k и величину отрезка b, отсекаемого прямой

 на оси OY.

1.10.Представлены  уравнения прямых:
                                     x+y+1=0, x+y=0, 2x+y+2=0 и y=2x.

     Какие из заданных прямых параллельны?

1.11.Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент k=1.

     Определить  длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой

                                                      3у+4х-12=0

      с осями координат.

1.12.Определить угол между прямыми

                                                 х -2у -2=0 и у= –2х+3.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и .

1.13.Определить, с какими из прямых

                                            у=3,  у = х, х=5 и  у=2х

      пересекается окружность

                                                         х² + у² = 25.

1.14.Определить координаты центра и радиус окружности х² +у² –4х+8у–16=0.

1.15.Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой находится  в точке С(-4;5).

1.16.Определить координаты центра окружности, заданной уравнением

                                                   .

1.17.Составить уравнение касательной к окружности

     в точке (3;-1).

  1.18.Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.

5.Кривые второго порядка.

 1.19.Определить координаты фокусов эллипса

                                                           25x²+9y² = 900.

 1.20.Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы

                                                                  х² =4у.

 1.21.Определить, какая кривая определяется уравнением:

                                     1..

                                     2. .

                                     3..

                                     4..

6.Прямые, плоскости и сферы.

1.22.Определить, какое из уравнений:

                                     2x-3y+z+1=0, x+2y-6=0 и x+3y=0

       определяет плоскость, параллельную оси OZ.

1.23.Определить  координаты нормального вектора к плоскости

                                                 2x-3y+z-6=0.

 1.24.Определить взаимное расположение прямых  

                                      и.

 7.Поверхности второго порядка.

Определить, какая поверхность определяется  уравнением

                 1..

                 2..

             3..

 8.Определители (детерминанты).

 Вычислить определители:

                                          1. .

                                           2. .

                                           3..

9.Операции с квадратными матрицами.

Представлены матрицы:

                                  и .

Определить:

1.5А - В.

2.3А^T ·2B.

3.А·В.