Определение множества комплексных чисел

Когда-то давно, много тысяч лет назад, люди придумали натуральные числа. Это случилось тогда, когда возникла необходимость пересчитать множество людей в племени, множество животных, убитых на охоте, … Довольно скоро люди поняли, что одними натуральными им не обойтись и были придуманы дробные числа. Так, с течением времени, решая различные жизненные задачи, люди придумывали все новые числовые множества. Причем каждое следующее включало в себя предыдущее:

N– множество натуральных чисел: числа, используемые при счете предметов. (не всегда можно решить уравнение ).

Z– множество целых чисел:N + 0 + числа, противоположные натуральным. (не всегда можно решить уравнение ).

Q– множество рациональных дробей ( – обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби, бесконечные периодические десятичные дроби).

I– множество иррациональных чисел ( , … бесконечные непериодические десятичные дроби).

R– множество действительных чисел, включает в себя все предыдущие множества.

В R не всегда можно решить уравнение . Значит, нужно новое множество, в котором всякое уравнение указанного типа было бы разрешимо. Таким числовым множеством является множествоC – комплексных чисел.

мнимая единица – число, квадрат которого равен : .

Множеством C-комплексных чисел называется множество символов вида: , гдеаиb– любые действительные числа, и в котором выполняются следующие аксиомы:

А1:

А2:

А3:

А4:

А5:

А6:

Символы вида называются комплексными числами

Любое действительное число можно представить в виде комплексного числа. Например, , следовательно, множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел: .

Запись комплексного числа в виде называетсяалгебраическойформой комплексного числа.а– действительная часть комплексного числа (обозначается );b– мнимая часть комплексного числа (обозначается ( )).

Обозначение для мнимой единицы ввел Л.Эйлер в 1777 г.