Делители натурального числа. НОД и взаимно простые числа.

БИЛЕТ №1

 Натуральные числа. Сложение натуральных чисел. Законы сложения.

Натуральные числа— это числа, начиная с 1, получаемые при счете предметов.

1,2,3,4,5...

Наименьшее натуральное число — 1.  Наибольшего натурального числа не существует.

 О- не считается натуральным числом.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число. 

Переместительный закон сложения

 От перестановки слагаемых сумма не меняется.

a + b = b + a      В этом равенстве буквы a и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.  

 Пример:

90 + 20 = 20 + 90 = 110

Сочетательный закон сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

 (a + b) + c = a + (b + c)

 Например:

6 + 4 + (3 + 2) = 6 + (4 + 3) + 2 = (6 + 4) + 3 + 2 = 15

Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере сложение!

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

a + 0 = 0 + a = a

БИЛЕТ № 2

Умножение. Законы умножения.

компоненты умножения

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется.             a · b = b · a

 Пример:

11 · 4 = 4 · 11 = 44

Сочетательное свойство умножения

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

a · (b · c) = (a · b) · c

 Свойство нуля при умножении

 Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.               a · 0 = 0                 0 · a · b · c = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.        (a + b) · c = a · c + b · c

 Например:

8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88

 Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так:

(a − b) · c = a · c − b · c

 Например:

8 · (6 - 5) = 8 · 6 - 8 · 5 = 48 - 40 = 8

 Запомните   При умножение любого числа на 1 получается это же число.

a · 1 = a        Например:   18 · 1=18

 БИЛЕТ № 3

Степень с натуральным показателем

Степенью натурального числа a называют произведение нескольких множителей, каждый из которых равен а.

Например:

Квадрат числа а . Произведение a умножить на a называют второй степенью или квадратом числа a.            

Квадраты первых десяти натуральных чисел вы легко вспомните с помощью таблицы умножения:

.

 Куб числа а  

Произведение числа a на a и на a называют третьей степенью или кубом числа a.   Записывают таким образом, . Читают a в кубе или a в третьей степени. Например: Таблица кубов первых десяти натуральных чисел:

БИЛЕТ №4

Делители натурального числа. НОД и взаимно простые числа.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются  делителями числа. Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка.

 Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

 Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12

Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольший из делителей этих чисел — 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b — это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример.

Д (7) = {1, 7}         Д (9) = {1, 9}             НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами.

 Взаимно простые числа— это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1.  Их НОД равен 1.

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

1. Разложить делители чисел на простые множители;

 2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.

 3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;

Ответ: НОД (28; 64) = 4

БИЛЕТ №5