Методика нахождения абсолютной погрешности с использованием дифференциала функции

При работе с величинами, значение которых известно лишь приближенно, часто бывает необходимо определить результирующую погрешность формулы, в которой используются эти величины. Решение этой задачи может быть получено посредством вычисления дифференциала функции, выражающей эту формулу. Рассмотрим методику нахождения абсолютной погрешности с использованием дифференциала функции для вывода приближенных формул.

Покажем вывод приближения, на примере функции трёх переменных.

Пусть в результате измерений и последующей обработки получены приближённые значения трёх величин с надёжностью P₀=0,9:

.

Пусть далее, имеется функция (формула) включающая эти величины:

.

Подставляя средние значения величин , определим среднее значение функции:

.

Погрешность (отклонение) функции , при отклонении исходных величин,  может быть приближённо выражена дифференциалом самой функции, т.е.:

(1)

Правомерность приближения определяется по смыслу - погрешность измеряемой величины много меньше её значения. Таким образом, мы имеем с той же надёжностью:

.

Обобщение формулы на произвольное количество измеряемых величин очевидно. По мере приобретения навыка вычисления, рекомендуется выводить формулу погрешности в форме ряда Тейлора, с удержанием линейных членов разложения:

(2).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Момент инерции полого цилиндра, может быть вычислен по формуле:

,

где m -масса цилиндра, R₀ - внутренний радиус, R₁ - внешний радиус. Их приближённые значения составляют:

.

Определить момент инерции цилиндра и его погрешность.

Решение. Момент инерции цилиндра очевидно равен:

.

Выведем формулу погрешности ΔI, для чего вычислим частные производные:

.

Запишем формулу погрешности:

.

Подставляя числовые значения, получим:

.

Пример 2. Стартовая масса M₀ ракеты для достижения скорости V должна составлять:

 (формула Циолковского).

M - конечная масса ракеты, С - скорость газа в реактивной струе. Значения и допустимые отклонения начальных параметров составляют:

.

Определить начальную массу ракеты и допустимое отклонение.

Решение.Разлагая формулу Циолковского в ряд Тейлора, и оставляя линейные члены разложения, будем иметь:

.

Вычисляя частные производные, получим расчётную формулу:

.

Подставляя числовые значения, имеем:

.

Пример 3.Некоторая величина имеет приближённое значение:

.

Определить приближённое значение формулы:

.

Решение. Используя линейные члены разложения ряда Тейлора, имеем:

.

Для свободного владения методом рекомендуется вывести формулы погрешностей используя произвольные комбинаций элементарных функций.

В дальнейшем при проведении лабораторных работ и их анализа, предлагается самостоятельно вычислить абсолютную погрешность, используя дифференциал функции формулы (1) и (2).

В качестве примера, в лабораторной работе №1, будет подробно рассмотрено нахождение абсолютной погрешности объёма цилиндра.