Решение №1.1 («по-взрослому»).

       Минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты. Решим задачу в общем виде. Пусть сумма (в тыс. руб.) кредита; задолженность в й месяц;  – выплата в й месяц, ; коэффициент ежемесячного повышения, . Тогда

После предпоследней выплаты останется  и тогда в последний, й раз, кредит будет погашен. Значит, .

Относительно  получаем неравенство

.

По условию , т.е. ,  

Так как , то .

Ответ: 4.

Решение №1.2 («по-детски»).

       Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 3 месяца. Банк за 3 месяца возьмет меньше, чем 3% от первоначальной суммы в 900 тыс., т.е. меньше 27 тыс. Поэтому то, что забирает банк, точно можно будет оплатить в 4-й месяц, потратив меньше 300 тыс.

Ответ: 4.

Задача 2.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Пусть 15-го числа текущего месяца долг равен , а 15-го числа предыдущего месяца долг равен . Тогда в конце предыдущего месяца долг равен  и поэтому выплата в первой половине текущего месяца равна – .

Значит, в процентах от суммы кредита выплаты в феврале составили %, в марте составили %, в апреле – 14%, в мае – 13,5%, в июне – 13%, а в июле %. Следовательно, общая сумма выплат составила %.

Ответ: 22,5.

Задача 3.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение 1.Пусть кредит планируется взять на  лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

28, , …, , , 0.

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

35, , …, , .

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

, , …, , .

Получаем: , откуда . Значит, всего следует выплатить

 (млн рублей).

Ответ: 80,5 млн рублей.

Решение 2.По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

.

Первая выплата равна . Вторая выплата равна , третья равна , четвертая равна  и т.д. Значит, наибольшая выплата – первая, , выплат – 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью .

       Общая выплата равна .

Ответ: 80,5 млн рублей.

Примеры оценивания решений заданий 17

Пример 1.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Ответ:4.

Комментарий.

       Ответ верен. Более того «…построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели…», см. критерии; в данном случае – арифметическая, числовая модель. Однако, эта модель построена неверно, т.е. она не соответствует условию. По решению видно, что сначала идет платёж долга, потом – начисление процента, а в условии – наоборот.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Ответ:4.

Комментарий.

       Здесь и ответ верен, и движение денег в целом описано верно. К сожалению, в вычислениях есть просчет в первой клетке третьей строки. Добавлен не 1%, а 10%. Эта ошибка «играет» в пользу писавшего, но вычислительная ошибка имеется.

Работает критерий на 2 балла, если в «недостаточно обосновано» включить и случай обоснования с вычислительной ошибкой.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 3.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Ответ:22,5.

Комментарий.

Почти правильное решение. Есть один обидный (по невнимательности?) прокол: перед выплатой в июле оставшаяся половина долга также увеличивается на 5%

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 4.См. задача 3. Кредит = 28 млн рублей. Рост на 25%. Выплаты равномерные, наибольший платеж 9 млн. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

Ответ: 80,5 млн рублей.

Комментарий.

На беглый взгляд – просто вычислительная ошибка, т.е. 2 балла. Смотрим внимательнее. Первые 4 строки заполнены с пониманием дела, разве что нет обоснования того, что именно первая выплата – наибольшая. В целом, верно описана процедура движения финансов: уменьшение долга, уменьшение размеров выплат. Но, судя по первому столбцу, строчек должно быть 14 (кредит взяли на 14 лет), а у автора, судя по последнему столбцу, их 18. К тому же, есть ошибка в подсчете: 9,5х9 явно больше 75,5.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 5. См. задача 3. Кредит =9 млн . Рост на 10%. Выплаты равномерные, наибольший платеж 1,5 млн. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

Ответ: 16,2 млн рублей.

Комментарий.Полная и верная бухгалтерская выписка. Можно попробовать «придраться»: а почему именно первая выплата – наибольшая. Но вряд ли возможно снять 1 балл только за это: ведь реализуемость всех условий представлена.

Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 6. См. задача 3. Кредит =17 млн . Рост на 10%. Выплаты равномерные, наибольший платеж 3,4 млн. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

Ответ: 26,35 млн рублей.

Комментарий.По внешнему виду – почти то же, что и в Примере 5. Но тут принципиальное непонимание условия: всё время вычитается по 3,4 млн., а в конце – получившийся остаток, меньший 3,4 млн. Скорее всего, автор «переготовился» к ЕГЭ по другой модели «экономической» задачи, с так называемыми «аннуитентными» выплатами.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Критерии проверки и оценка решений заданий 18 (20 в 2015 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017

Как это обычно бывает, задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:

– чисто алгебраический способ решения;

– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;

– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.

Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.

Ниже приведены задачи двух типов из материалов досрочного и основного ЕГЭ–2015, их решения, ответы и соответствующие критерии проверки. Далее в Части 1 приведены 6 примеров решений этих задач на ЕГЭ вместе с комментариями по оценке и самими оценками. Подчеркнём, что каждая задача оценивалась по критериям соответствующего года проведения ЕГЭ.

Задачи типа 1 и 2 имеют много схожего в своей структуре и условиях:

(1) это системы относительно двух переменных;

(2) это системы с параметром;

(3) первое уравнение системы довольно громоздкое, но не содержит параметр;

(4) уравнение, содержащее параметр, напротив, весьма простое; это уравнение пучка параллельных прямых, или прямых, проходящих через фиксированную точку;

(4) всё начинается с преобразований первого уравнения и его решения;

(5) далее, как правило, удобнее использовать геометрическую интерпретацию;

(6) верное выполнение (4) и (5) гарантирует получение 1 балла;

(7) 3 балла выставляется за практически верное решение; допускаются только 1–2 неточности во включении концевых точек соответствующих промежутков;

(8) оценка в 2 балла – самая редкая.

       В то же время, имеются и различия. В основном они связаны с видом первого уравнения. В заданиях первого типа эти уравнения сводятся к произведению двух линейных множителей или же линейного множителя и (простейшего) квадратичного множителя. Такое разложение можно провести или группировкой членов, или решая уравнение, как квадратное относительно одной из переменных.

В заданиях второго типа присутствует модуль. При его раскрытии с помощью выделения полных квадратов всё сводится к дугам двух окружностей. Дальнейший существенный шаг состоит в нахождении угловых коэффициентов касательных в точках пересечения этих окружностей. Без знания того, что для наклонных прямых  (или какого-то аналога нахождения уравнения перпендикуляра к заданной прямой в заданной точке) этот шаг становится почти непреодолимым. Судя по имеющимся сканам работ, верное нахождение угловых коэффициентов касательных в большинстве случаев гарантировало получение 3 баллов за решение.

Задача 1

Найдите все значения , при каждом из которых система  имеет ровно два различных решения.

Решение.

Решим первое уравнение:

.

Рассмотрим случай (1): . При любом  получаем одно решение , для которого неравенство  верно только при . 

Рассмотрим случай (2): , . Так как , то при  корней нет, при   получаем один корень , при   получаем два различных корня. У параболы  - ветви вверх, абсцисса вершины равна  и . Значит, оба корня не меньше -3 при  т.е. при , а при  один корень меньше -3, а другой – больше -3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Число решений (1)	0	1	1	1	1
Число решений (2)	1	1	2	1	0

Остается учесть те значения , при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда , и из ,   получаем, что .

Ответ: , .

Содержание критерия, задача №20, ЕГЭ-2015	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, отличающийся от верного на одно или оба из значений .	3
Обоснованно получено, что условие задачи выполняется хотя бы в одном из случаев  или .	2
Задача верно сведена к исследованию расположения парабол и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1 ⇐ Предыдущая12345 
	Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 283. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...