Примеры оценивания заданий 16

Пример 1.В остроугольном треугольнике  провели высоту . Из точки  
на стороны  и  опустили перпендикуляры  и  соответственно.

а) Докажите, что треугольник  подобен треугольнику .

б) Найдите отношение площади треугольника  к площади четырёхугольника , если , а радиус окружности, описанной около треугольника , равен 4.                  Ответ: .

Комментарий.

Доказательство в пункте а верно, хотя в первой строке – описка. В б есть ошибка по невнимательности (12 вместо 8) при нахождении коэффициента подобия, но присутствуют «верно» выполненные все шаги решения.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2.См. задача 1. Ответ: б) 30.

Комментарий. Доказательство в пункте а верно. В б (4-я строка, б) есть ошибка: утверждение  неверно.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

Точка  лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром  в точке  и второй раз пересекает окружность
с диаметром  в точке . Продолжение отрезка  пересекает окружность с диаметром  в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если  и .

Ответ: б) 30.

Комментарий.

Доказательство в пункте а верно. Решение задачи пункта б отсутствует.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 4.

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 14. Ответ: б) .

Комментарий. Доказательство в пункте, а верно. Пункт б содержит много верных утверждений, но в этом пункте получен неверный ответ не из-за арифметической ошибки. Верно найдена площадь треугольника АВМ. Но далее автор решения не заметил, что треугольники АВМ и CBD – равновелики!

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.

Точка  лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром  в точке  и второй раз пересекает окружность
с диаметром  в точке . Продолжение отрезка  пересекает окружность с диаметром  в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если  и .

Ответ:  

Комментарий.

Доказательство в пункте, а верно. Пункт б не содержит неверных утверждений и результатов вычислений. В частности, автор решения увидел, что фигура AMCD – трапеция и значит, треугольники АВМ и CBD – равновелики!

Оценка эксперта: 3 балла.

Критерии проверки и оценка решений заданий 17 (19 в 2015 г.) вариантов КИМ ЕГЭ–2017

    Введение текстовых задач экономического содержания в ЕГЭ–2015 по математике стало, пожалуй, наиболее заметным изменением во всем комплексе заданий КИМ с развёрнутым ответом. Во всех заданиях этого типа предыдущих лет условие с самого начала формулировалось в математических терминах и отдельно не предполагало построения какой-либо математической модели (частично этот момент мог присутствовать в некоторых способах решения заданий С5 с параметром). Некоторое исключение составляло задание С6, в котором явно текстовое, сюжетное, условие задачи на начальном этапе решения предполагало некоторый перевод на математический язык. Правда, сами тексты условий чаще всего уже активно использовали математическую терминологию: числа, записанные на доске, делимость, доли и дроби, средние величины и т.п.

       В заданиях №17 (=19) существенно усилена сюжетная, практико–ориентированная, составляющая условия. Относительно существования (возможностей существования) непосредственных связей этих задач с окружающей нас действительностью можно составить отдельный трактат. Мы ограничимся лишь констатацией двух положений. Во-первых, сами сюжеты не есть прямые цитаты «из жизни», они априорно уже являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих ситуаций. Во-вторых, эти сюжеты условно можно разделить на два типа, использующих соответственно дискретные модели (проценты, погашения кредитов, …) и непрерывные модели (различные производства, протяженные во времени, объемы продукции, …). Процитируем критерии оценивания выполнения заданий №19 из КИМ-2015.

Несколько подробнее, 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условия выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи.

Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или недостаточно полные обоснования. Например, при отыскании экстремума решение ограничивается верным нахождением лишь критической точки, без надлежащей её проверки на экстремальность. Кратко, « 2 = 3- ».

       Отметим, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, по нашему мнению, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям (см. ниже задачу 2) и доведён до верного решения. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (алгебраической, геометрической, функциональной, …) модели.

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

Задача 1.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?