Примеры оценивания решений заданий 13

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

_______________________________________________________________________

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации

По проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2017 года

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ОЦЕНИВАНИЮ ВЫПОЛНЕНИЯ
ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Москва

2017

Руководитель федеральной комиссии по разработке контрольных измерительных материалов для проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования по математике И.В. Ященко, в.н.с. ФГБНУ «ФИПИ».

Авторы–составители: И.Р. Высоцкий, О.Н. Косухин, П.В. Семёнов, А.В. Семенов, А.С. Трепалин.

Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2017 г. по математике подготовлены в соответствии с Тематическим планом работ Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный институт педагогических измерений» на 2017 г. Пособие предназначено для подготовки экспертов по оцениванию заданий с развернутым ответом, которые являются частью контрольных измерительных материалов (КИМ) для сдачи единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике.

В методических материалах дается краткое описание структуры контрольных измерительных материалов 2017 г. по математике, характеризуются типы заданий с развернутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике, и критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку.

В пособии использованы ответы участников ЕГЭ 2013–2015 гг.,
а также диагностических и тренировочных работ.

Авторы будут благодарны за замечания и предложения по совершенствованию пособия.

© И.Р. Высоцкий, О.Н. Косухин, П.В. Семёнов, А.В. Семенов, А.С. Трепалин, 2017

© Федеральный институт педагогических измерений. 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. Критерии проверки и оценка решений заданий 13 (15 в 2015 г., С1 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ-2017 5

2. Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017 13

3. Критерии проверки и оценка решений заданий 15 (18 в 2015 г., С3 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017 22

4. Критерии проверки и оценка решений заданий 16 (18 в 2015 г., С4 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017 32

5. Критерии проверки и оценка решений заданий 17 (19 в 2015 г.) вариантов КИМ ЕГЭ–2017 41

6. Критерии проверки и оценка решений заданий 18 (20 в 2015 г., С5 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017 51

7. Критерии проверки и оценка решений заданий 19 (21 в 2015 г., С6 ранее ) вариантов КИМ ЕГЭ-2017 63

ВВЕДЕНИЕ

    Общие позиции и характер оценивания выполнения заданий в целом повторяют прошлогодние. Небольшие видоизменения и корректировки формулировок в содержании критериев оценивания для конкретного задания могут иметь место в тех случаях, когда необходимость подобного рода уточнений диктуется содержанием и структурой самого задания.

Более подробное описание заданий с развернутым ответом и критериев оценивания их выполнения представлены ниже, в начале каждого из параграфов 1–7.

Так как нумерация заданий с развернутым ответом трижды менялась за четыре последних года, то в тексте настоящих методических материалов мы довольно часто приводим не только нумерацию 2017 года, но и две предыдущие. Например, оборот «задание 18 (=20 =С5)» означает, что мы имеем дело с заданием 18 этого года, которое соответствует 20-й позиции в ЕГЭ 2015 г. и, соответственно, заданиям С5 2010–2014 гг.

Извлечения из Методических рекомендаций Рособрнадзора по формированию и организации работы предметных комиссий субъекта Российской Федерации при проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования

Во время работы экспертам запрещается:

· самостоятельно изменять рабочие места;

· копировать и выносить из помещений, где осуществляется проверка, экзаменационные работы, критерии оценивания, протоколы проверки экзаменационных работ, а также разглашать посторонним лицам информацию, содержащуюся в указанных материалах;

· иметь при себе и (или) пользоваться средствами связи, фото и видеоаппаратурой, портативными персональными компьютерами (ноутбуками, КПК и другими), кроме специально оборудованного в помещениях ПК рабочего места с выходом в информационно-телекоммуникационную сеть «Интернет» для обеспечения возможности уточнения экспертами изложенных в экзаменационных работах участников ГИА фактов (например, сверка с источниками, проверка приведенных участниками ГИА фамилий, названий, фактов и т.п.);

· без уважительной причины покидать аудиторию;

· переговариваться, если речь не идет о консультации у председателя ПК или у эксперта, назначенного по решению председателя ПК консультантом;

если у эксперта возникают вопросы или проблемы, он должен обратиться к председателю ПК или лицу, назначенному председателем ПК консультантом

Критерии проверки и оценка решений заданий 13 (15 в 2015 г., С1 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ-2017

Задания №13 занимают одну из важнейших позиций в структуре КИМ. К их выполнению в 2015 г. приступало более 60% участников профильного единого государственного экзамена (ЕГЭ), а положительные баллы получили более 30% всех участников. Успешность выполнения заданий этого типа является характеристическим свойством, различающим базовый и профильный уровни подготовки учащихся. Поэтому при подготовке выпускников к экзамену решению заданий подобного уровня следует уделять много внимания.

       Подчеркнем, что выделение решения уравнения в отдельный пункт а прямо указывает участникам экзамена на необходимость полного решения предложенного уравнения: при отсутствии в тексте конкретной работы ответа на вопрос п. а задание №13 следует оценивать не более чем 1 баллом.

В дискуссиях с представителями региональных групп экспертов неоднократно высказывалось предложение о смягчении критериев выставления 1 балла. А именно, предлагалось поступать так и в тех случаях, когда в решении п. а допущена вычислительная ошибка или описка, не повлиявшая на полноту всего решения. В критериях оценивания заданий с развернутым ответом ЕГЭ 2014–2017 эти предложения были учтены.

Небольшое уточнение с «неверный ответ» до «неверные ответы» подчеркивает тот факт, что 1 балл допускается ставить в тех случаях, когда единственная вычислительная ошибка (описка) стала причиной того, что неверны оба ответа, полученные при выполнении п. а и п. б.

Сохранена такая структура критериев и в 2017 г.

    В демонстрационном варианте ЕГЭ это задание остаётся практически неизменным.

Задача 13 (демонстрационный вариант 2017 г).

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.а) Преобразуем уравнение:

; ; ,

откуда  или .

Из уравнения  находим: , где .

Из уравнения  находим: , где .

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Получаем числа: ; ; .

Ответ:          а) , , .

         б) ; ; .

Комментарий. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.

Возвращаясь к критериям, если:

(1) уравнение (см. пример выше) верно сведено к простейшим тригонометрическим уравнениям  и ;

(2) эти простейшие уравнения не решены или решены с ошибкой;

(3) но при этом отбор корней исходного уравнения верно произведён с помощью тригонометрической окружности, а не по неверно найденным корням простейших тригонометрических уравнений, то по критериям можно выставить 1 балл (получен верный ответ в п. б, а его получение обосновано верным сведением к простейшим уравнениям).

       В то же время, при наличии (1) и (2) и «верного» отбора по неверно решенным простейшим уравнениям следует выставлять 0 баллов: любые ошибки, допущенные в тригонометрических формулах, в нахождении значений тригонометрических функций не относятся к вычислительным.

Примеры оценивания решений заданий 13

Пример 1. 

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Ответ:а)  ; б) .

Комментарий.

Работа не пустая. Она цитирует УММ 2014 года, где за эту работу был выставлен 1 балл. Объяснение состояло в том, что при переходе от  к  допущена очевидная вычислительная ошибка, а уравнение  решено верно, и затем произведён отбор. К сожалению, в этом отборе есть и описка в 3), есть и ошибка в 1): отобранный корень не принадлежит нужному отрезку.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий.

Типичный пример выставления 1 балла по критериям 2014, 2015 гг. При решении второго простейшего тригонометрического уравнения «пропал» множитель 2 в периоде. Но верный отбор корней произведён не по формуле, а по тригонометрической окружности.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) , ; б) ; ; .

Комментарий.

Правильные ответы обоснованно получены в пунктах а и б.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 4.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий. Нигде в решении нет описания значений параметра k, но при отборе корней явно указано целое значение. Считаем, что выставление наивысшего балла возможно.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 5.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Ответ:а)  ; б) .

Комментарий. Странный случай. В тексте много верных вещей. В п. а сначала написан верный ответ . Но потом появляется угол в  (!!!?). В результате оба ответа неверны не из-за вычислительной ошибки.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 6.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Ответ:а)  ; б) .

Комментарий.

Практически всё верно, только отобранные корни не принадлежат нужному отрезку. Верно выполнен только первый пункт.

Оценка эксперта: 1 балл.

Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2017

Задания 14 являются практически полным аналогом заданий №16 и С2 КИМ ЕГЭ предыдущих лет. Стереометрическая задача позиционируется как задача для большинства успевающих учеников, а не только для избранных. В связи с этим в КИМах предлагается достаточно простая задача по стереометрии, решить которую возможно с минимальным количеством геометрических построений и технических вычислений. Итак, в заданиях 14 прежними остались уровень сложности, тематическая принадлежность (геометрия многогранников) и максимальный балл (2 балла) за их выполнение.

       Несколько изменилась структура постановки вопроса. Как и в прошлом году, она разделена на пункты а и б примерно так же, как и задание 13. Соответственно уточнился и общий характер оценивания выполнения решений. Для получения 2 баллов нужно, чтобы выполнялись два условия одновременно (конъюнкция), а для получения 1 балла хватает выполнения хотя бы одного из этих условий (дизъюнкция).

Пункт а в заданиях 14 может по разному соотноситься с пунктом б. А именно, он может быть утверждением независимым от б, дополняющим или проверяющим понимание общей конструкции. Возможен и второй вариант, когда в пункте а следует доказать утверждение, необходимое для полной корректности вычислений в пункте б. В первой ситуации независимость условий а и б приводит и к независимости проверки их выполнения. Во второй ситуации вполне может встретиться примерно следующий текст.

«Задание 16……                        . а) Докажите, что…; б) Найдите площадь….

Решение.

У меня а) не получилось. Используем а) при решении б)… далее верное и обоснованное (без выполнения пункта а) вычисление……».

       Хуже того, вместо честного признания о «нерешаемости» а может быть предъявлено неполное и, даже, неверное доказательство. И в том, и в другом случае за верное решение пункта б следует выставлять 1 балл. Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что в первую очередь следует поощрять за достижения, а не наказывать за промахи. Тем самым, часть «обоснованно получен верный ответ в пункте б» критерия на 1 балл более точно было бы сформулировать как «обоснованно (по модулю п. а) получен верный ответ в пункте б».

Отметим также часто задаваемый экспертами вопрос, связанный с проверкой решения задач на нахождение угла. Вид ответа может отличаться от приведённого в критериях по проверке заданий с развёрнутым ответом. Это отличие не может служить основанием для снижения оценки. (Кстати, последнее верно для проверки любого задания, не обязательно задания по стереометрии). Главное, чтобы ответ был правильным. Например, если в образце решения стоит , а у выпускника в ответе , то справедливость равенства =  эксперту следует проверить самостоятельно.

       Отдельно скажем о применении различных формул аналитической геометрии, которыми несколько излишне увлекаются некоторые специалисты. Разумеется, никакого запрета на их использование нет. Однако, если по критериям 2014 года адекватное использование некоторой формулы с допущенной вычислительной ошибкой можно оценить в 1 балл, то условие «обоснованно получен верный ответ в пункте б» критериев 2017 года в таком случае уже не выполнено и (если нет доказательства а) следует выставлять 0 баллов.

Задание 1 (№16, ЕГЭ 2015 г).

В основании четырёхугольной пирамиды  лежит прямоугольник  со сторонами  и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что  — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми  и .

Решение.

а) В треугольнике  имеем:

,

поэтому треугольник  прямоугольный с гипотенузой  и прямым углом . Аналогично, из равенства

получаем, что . Так как прямая  перпендикулярна прямым  и , прямая  перпендикулярна плоскости .

б) На прямой  отметим такую точку , что  — параллелограмм, тогда  и . Найдём угол . По теореме Пифагора:

;  и .

По теореме косинусов:

; ; .

Искомый угол равен . Ответ: б) .

Задание 2 (№16, ЕГЭ 2015 г).

В правильной треугольной пирамиде  сторона основания  равна 60, а боковое ребро  равно 37. Точки  и  — середины рёбер  и  соответственно. Плоскость  содержит прямую  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость  делит медиану  основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины  до плоскости .

Решение.

а) Прямая  параллельна плоскости , поэтому сечение пересекает плоскость  по прямой , параллельной . Рассмотрим плоскость . Пусть  — точка пересечения этой плоскости и прямой ,  — точка пересечения этой плоскости
и прямой ,  — центр основания пирамиды. Плоскости  и  перпендикулярны плоскости , поэтому прямая  перпендикулярна плоскости , а значит, параллельна прямой . Поскольку  — средняя линия треугольника , точка  является серединой . Следовательно,  — середина . Медиана  треугольника  делится точкой  в отношении . Значит, .

б) Прямая  перпендикулярна  и , поэтому прямая  перпендикулярна плоскости . Прямые  и  параллельны, значит, расстояние от вершины  до плоскости сечения равно расстоянию
от точки  до плоскости сечения, то есть .

Ответ: б) .