Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a₀+a₁x+a₂x²+… + a_nxⁿ = (1) x Î R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an Î R, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a₀+a₁(x-x0)+a₂(x-x0)²… + a_n(x-x0)ⁿ = (2)

 Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|

№14

Определение криволинейных

Интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

d1 =  f(xk,hk)×Dlk

d2 =  Р(xk,hk)×Dхk

d3 =  Q(xk,hk)×Dyk,

где Dхk = x_k-x_k-1, Dyk = y_k-y_k-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) à 0

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l à 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:

 или

сумму: +  принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

 в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

 и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.