Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Ного интеграла к повторномуСтр 1 из 7Следующая ⇒
Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) Î D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) Î Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0 , то число n областей Di à ¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(xi, Di)DSi (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы. Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при l à 0. Обозн: или 2 Понятие числового Ряда и его суммы Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3… Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда. Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет. № 2 1 Условие существования двойного интеграла Необходимое, но недостаточное: Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D. 1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D. 2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D. Геометрический и Арифметический ряды Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим: или а+ а×q +…+a×qn-1 a ¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q Возможны случаи: 1 |q|<1 т. е. ряд схд-ся и его сумма 2 |q|>1 и предел суммы так же равен бесконечности т. е. ряд расходится. 3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n×a ряд расходится 4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится. Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии: u – первый член, d – разность. Сумма ряда при любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда расходится. №3 1 Основные св-ва 2ного интеграла 1. Двойной интеграл по области D = площади этой области. 2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G. 3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: 4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов: 5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д. 6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то: В частности: g(x,y) >=0 то и 7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f. 8. Теорема о среднем значении. Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x, h) Î Д, что: (2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(x, h) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д. 2 С-ва сходящихся рядов Пусть даны два ряда: u1+u2+…un = (1) и v1+v2+…vn = (2) Произведением ряда (1) на число l Î R наз ряд: lu1+lu2+…lun = (3) Суммой рядов (1) и (2) наз ряд: (u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = (для разности там только - появица) Т1 Об общем множителе Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд =l × тоже сходится и его сумма S’ = S×l Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и ряд тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда. Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: тоже сходится и если s его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=¹vn) Для ряда (1) ряд называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + rn Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
№4 Сведение ного интеграла к повторному Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке. D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x) Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу. Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл : , наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной. Необходимый Признак сходимости рядов Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: Док-во: Sn=u1+u2+…+un Sn-1\u1+u2+…+un-1 un=Sn-Sn-1, поэтому: Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда. №5 |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-11; просмотров: 231. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |