Цилиндрические и конические поверхности второго порядка

Основные определения, свойства и теоремы

Пусть  — некоторая линия, а — ненулевой вектор.

Определение. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых пересекает линию  и параллельна вектору , называется цилиндрической поверхностью.

Линия  называется направляющей, а указанные прямые — образующими цилиндрической поверхности.

Сечение, перпендикулярное образующим, дает новую направляющую — плоскую линию, что более удобно для задания цилиндрической поверхности в прямоугольной системе координат. Если в качестве секущей взять координатную плоскость , а ось окажется параллельной вектору , то уравнение линии  будет одновременно
и уравнением цилиндрической поверхности. Цилиндрические поверхности второго порядка соответствуют линиям второго порядка, в частности, существуют эллиптические, гиперболические, параболические цилиндры.

Цилиндроиды:

Отсутствует одна из переменных:

1. – Эллиптический цилиндр.

а) – две параллельные прямые.

б) – две параллельные прямые.

в) – Эллипс.

2. -Гиперболический цилиндр

а) – две параллельные прямые.

б) – две параллельные прямые.

в) – Гипербола.

3. – Параболический цилиндр.

Определение. Конические поверхности, или конусы, образуются множеством прямых, проходящих через данную точку  и текущую точку  направляющей линии .

 Точка  называется вершиной конической поверхности, а прямые  — образующими.

К коническим поверхностям второго порядка относится, например, эллиптический конус, задаваемый в канонической системе координат уравнением .

Его вершиной является начало координат,
а направляющей линией может служить сечение  т. е. эллипс , лежащий в плоскости .