Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды

Основные определения, свойства и теоремы

Приведем канонические уравнения поверхностей второго порядка
в некоторой прямоугольной системе координат:

 — эллипсоид (рис. 8);

 — однополостный гиперболоид (рис. 9);

 — двуполостный гиперболоид (рис. 10);

 — эллиптический параболоид (рис. 11);

 — гиперболический параболоид (рис. 12).

Рис. 8                    Рис. 12

Так как в уравнениях эллипсоидов и гиперболоидов переменные находятся только в четных степенях, то они симметричны относительно начала координат, координатных осей и координатных плоскостей.

Форма поверхности второго порядка по ее уравнению изучается с помощью метода сечений, который состоит в следующем: пусть некоторая поверхность задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением. Данную поверхность пересекают плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями), и находят линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме рассматриваемой
поверхности.

    Рис. 10                    Рис. 11                    Рис. 9

Определение. Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.

Эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид не имеют прямолинейных образующих. Однополостный гиперболоид
и гиперболический параболоид имеют по два семейства прямолинейных образующих.

Пример решения задачи

Написать уравнение двуполостного гиперболоида, проходящего через точки

М₁(3, 1, 2), М₂(2, ,3) и М₃(6, 2, ), в канонической системе координат.

Решение.

Поскольку ось гиперболоида не задана, его уравнение представим
в самом общем виде: .

Коэффициенты при  обозначим соответственно через , тогда .

Таким образом, уравнение искомого двуполостного гиперболоида принимает вид .