Взаимное расположение прямой и плоскости

Различные способы задания плоскости

Основные определения, свойства и теоремы

В аналитической геометрии пользуются следующими способами задания плоскости.

Определение. Вектор  называется направляющим вектором плоскости π, если он параллелен этой плоскости или лежит на ней.

Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя направляющими векторами.

Пусть дана точка , принадлежащая плоскости π и два неколлинеарных вектора ( ) и , параллельные этой плоскости. В этом случае уравнение плоскости имеет вид:

.                (1)

2. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.

Пусть плоскость задана тремя точками ,
и , не лежащими на одной прямой. Тогда уравнение плоскости запишется в следующем виде:

.             (2)

3. Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором
в ортонормированном базисе

Определение. Вектор  называется вектором нормали (или нормальным вектором) плоскости π, если он перпендикулярен этой плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат задана точка , принадлежащая плоскости π, и ненулевой вектор  перпендикулярный этой плоскости. В этом случае уравнение плоскости имеет вид:

. (3)

Общее уравнение плоскости.

Справедлива следующая теорема: Всякая плоскость в пространстве задается уравнением первой степени относительно переменных
в аффинной системе координат, и обратно, всякое уравнение первой степени относительно переменных  в аффинной системе координат есть уравнение плоскости.

— общее уравнение плоскости         (4).

Причем коэффициенты при переменных  есть координаты вектора , перпендикулярного плоскости. Вектор  является нормальным вектором плоскости.

5. Уравнение плоскости в «отрезках», отсекаемых на осях координат.

Этот способ задания возможен, когда плоскость не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям.

.                          (5)

Числа  численно равны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат .

Лемма о параллельности вектора плоскости. Пусть в аффинной системе координат задана плоскость π уравнением (4) и вектор . Для того чтобы вектор  был параллелен плоскости π, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Примеры решения задач

1.Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные различные точки ,  параллельно данному вектору . Векторы  и неколлинеарны.

Решение.

Пусть  — произвольная точка плоскости.

Векторы , ,  компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю. В координатной форме это условие примет вид

.

Таким образом, получено искомое уравнение плоскости.

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной плоскостям:

Решение.

По условию искомая плоскость перпендикулярна данным плоскостям, следовательно, она должна быть параллельна нормальным векторам этих плоскостей и проходить через точку М.

На основании этого уравнение искомой плоскости будет иметь вид:

.

Взаимное расположение плоскостей. Расстояние
от точки до плоскости. Угол между плоскостями

Основные определения, свойства и теоремы

Пусть в аффинной системе координат даны две плоскости своими общими уравнениями:

(1) и (2) .

Возможны следующие случаи:

1. Плоскости (1) и (2) совпадают-все коэффициенты
в уравнениях плоскостей пропорциональны .

2. Плоскости (1) и (2) пересекаются, т. е. коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях плоскостей не пропорциональны.

3. Плоскости (1) и (2) параллельны, т. е. коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях плоскостей пропорциональны, но не пропорциональны свободные члены .

Следствие. Для того чтобы две плоскости, заданные в прямоугольной декартовой системе координат, были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

Определение.Пучком плоскостей,определяемым плоскостями (1)
и (2), называется совокупность всех плоскостей, проходящих через прямую пересечения этих плоскостей, если они пересекаются, и совокупность всех плоскостей, параллельных плоскостям (1) и (2), если они параллельны или совпадают. В первом случае говорят, что дан пучок пересекающихсяплоскостей, а во втором — пучок параллельных плоскостей.

Уравнение произвольной плоскости пучка, определяемого пересекающимися плоскостями (1) и (2), имеет вид

, где a и b принимают всевозможные значения, не равные одновременно нулю.

Уравнение произвольной плоскости пучка параллельных плоскостей , где l принимает всевозможные значения, причем  — уравнение плоскости, определяющей пучок.

В прямоугольной декартовой системе координат расстояние от точки  до плоскости π: Ах+ Ву + Сz + D = 0 вычисляется по формуле .

Определение.Углом j между двумя пересекающимися плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Величина угла между плоскостями равна величине угла между нормальными векторами этих плоскостей .

В прямоугольной декартовой системе координат угол j вычисляется по формуле .

Примеры решения задач

1.Вывести формулу для вычисления расстояния между параллельными плоскостями π₁:Ах+ Ву + Сz + D₁ = 0 и π₂: Ах+ Ву + Сz + D₂ = 0, где .

Решение.

Замечание: плоскости π₁и π₂ действительно параллельны, так как они перпендикулярны одному и тому же вектору , но не совпадают .

Пусть  — произвольная точка плоскости π₁.

Тогда р(π₁, π₂) = р(М₀, π₂), поэтому воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости .

Так как , то , следовательно

.

Таким образом, искомая формула примет вид .

2.Дан тетраэдр с вершинами , , , . Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

Решение.

Искомая высота равна расстоянию от точки D до плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Составим уравнение плоскости (ABC): ,

 или .

Вычислим по формуле расстояние от точки D до плоскости (ABC): .

Ответ: 4.

3.На осиОх найти точку, равноудаленную от точки  и от плоскости .

Решение.

Пусть  — искомая точка ( , так как точка лежит на осиОх).

Найдем расстояние от этой точки до данной плоскости и точки А:

; .

Так как по условию , то  или .

Возведя в квадрат обе части последнего уравнения и приводя подобные члены, получим . Решением этого уравнения являются .

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две точки  и .

4.Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между пересекающимися плоскостями

Решение.

Каждая из искомых плоскостей является геометрическим местом
точек, равноудаленных от двух данных плоскостей. Пусть  — произвольная точка искомой плоскости, тогда:

, .

Так как по условию , то .

Откуда получаем уравнения искомых плоскостей:

.

В частности, если даны плоскости , , то уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между ними, запишутся следующим образом: .

Следовательно, .

1)  или ;

2)  или .

Различные способы задания прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости

Основные определения, свойства и теоремы

Приведем следующие способы задания и виды уравнений прямой
в пространстве.

1. Канонические уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором.