Метрические задачи на сочетание прямых и плоскостей

Основные определения, свойства и теоремы

Задачи, содержащие метрические отношения: длины, расстояния, величины углов, площади и т. п., называются метрическими. Эти задачи удобно решать в прямоугольной системе координат. Для нахождения угла между прямыми используются их направляющие векторы (рис. 1), а для прямой и плоскости — направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости (рис. 2).

                Рис. 1            Рис. 2

Примеры решения задач

1.Выяснить взаимное расположение прямых, заданных в прямоугольной системе координат своими каноническими уравнениями:  и . Вычислить угол между ними.

Решение.

По каноническим уравнениям данных прямых находим координаты их направляющих векторов и . Скалярное произведение этих векторов равно нулю, следовательно, данные прямые взаимно перпендикулярны.

Выясним, пересекаются ли данные прямые или скрещиваются. Имеем на первой прямой точку  и на второй прямой точку . Эти точки определяют вектор .

Находим:

Следовательно, данные прямые скрещиваются.

2.Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой .

Решение.

С другой стороны,

Таким образом,

= .                                                                                                                         

Отсюда получаем формулу .

3.Вывести формулу для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми  и .

Решение.

Рассмотрим плоскость , проходящую через прямую  параллельно прямой , и плоскость , проходящую через прямую  параллельно прямой . Из школьного курса стереометрии известно, что такие плоскости существуют и определяются однозначно. Очевидно, что расстояние между прямыми  и равно расстоянию между параллельными плоскостями  и .

                     Рис. 4

Для нахождения этого расстояния построим параллелепипед так, как показано на рисунке (рис. 4), и обозначим через объем этого параллелепипеда. Известно, что

.

С другой стороны, .

Таким образом, .

Отсюда получаем формулу . 

Кривые второго порядка

Всякую кривую второго порядка можно описать уравнением вида:

,	( 1 )

где  – константы.

В зависимости от соотношения этих констант получаются уравнения окружности, эллипса или гиперболы. В частности, если  и , уравнение ( 1 ) описывает уравнение окружности: , или, выделив полный квадрат:

,

( 2 )

Если уравнение ( 1 ) разлагается на два линейных множителя, то оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Определение Эллипсом  называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости, есть величина постоянная.равная

Эти фиксированные точки плоскости называются фокусами эллипса.

Рис. 5. Эллипс

На рис. 5 обозначены:  – вершины эллипса;  – большая ось ;  – малая ось ; а -большая полуось, b-малая полуось

 и  – фокусы эллипса, лежащие на большой оси по обе стороны от центра на расстоянииc от него; причём

Величина  – называется эксцентриситетом эллипса

Директрисы – это прямые, параллельные малой оси и находящиеся от нее на расстоянии .

Каждое из расстояний от точки  до фокусов определяется по формулам: , , .

Каноническое уравнение эллипса ,

(3)

Определение.Гиперболой  называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная .

Точки, для которых выполняется условие , принадлежат одной ветви гиперболы (на рис. 6 - правой).

Точки, для которых  принадлежат другой ветви гиперболы (на рис. 6 - левой).

На рис.6  – действительная полуось,  – мнимая полуось гиперболы;

прямые  – асимптоты гиперболы;  и  - фокусы гиперболы.

Точки ,  называются вершинами гиперболы,причём

Эксцентриситет гиперболытакже вычисляется по формуле ;

прямые  перпендикулярны к действительной оси и называются директрисами гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы: .

( 4 )

Виды гипербол:

1. Гипербола, у которой полуоси равны(a=b) называется равносторонней.

2. Гипербола с действительной осью ОУ,т.е. имеющая уравнение называется сопряжённой для гиперболы . Такая гипербола пересекает ось ординат, асимптоты сопряженной гиперболы и гиперболы  совпадают.

Определение Параболой  называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) плоскости.

Элементами параболы являются:  – ось параболы;

– параметр параболы - расстояние между фокусом и директрисой;

 – вершина параболы;

 – фокус параболы (точка, лежащая на расстоянии  от вершины);

 уравнение директрисы  (рис. 7).

Каноническое уравнение параболы: . Виды парабол: 1.Парабола, имеющая уравнение:  называется сопряжённой для параболы .

(.5 )

Фокус параболы (- ; 0);  уравнение директрисы ; ветви направлены влево.

2.  Парабола, с осью ОУ имеет уравнение:

Фокус параболы (0; );  уравнение директрисы ; ветви направлены вверх

3. Парабола, с осью ОУ имеет уравнение: и называется сопряжённой для предыдущей параболы.

Фокус параболы (0; - );  уравнение директрисы ; ветви направлены вниз.

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

Задача 1

Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение: Приведем исходное уравнение к виду (2 ): выделим полные квадраты по  и , для этого разобьем свободный член на элементы:

, или

. Согласно уравнению (2 ) получаем

Ответ: координаты центра , радиус- .

Задача 2.

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение:

1. Приведем уравнение к виду (3): перепишем в виде:

, откуда , .

2. Определяем расстояние фокусов от центра:

, то есть , .

3. Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

. Ответ: , , .

Задача 3

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной полуоси равна 1.

Решение:

1. Для записи уравнения гиперболы в виде (4 ) необходимо знать величины  и . Величина  по условию задачи (длина вещественной полуоси). Определим величину .

2. Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

3. По формуле  определяем величину :

4. Подставляем в уравнение ( 4 ), получаем Ответ: .

Задача 4

Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение:

1. По условию парабола симметрична оси  и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением (.5 ).

2. Подставим в уравнение (.5 ) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

3. Следовательно, уравнение параболы можно записать как .

Ответ: .

Приведение кривой к каноническому виду:

Линии второго порядка-плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую ЛВП. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий.

Именно, нераспадающиеся линии:

эллипс гипербола y² = 2px — парабола,

мнимый эллипс;

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

 x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

 x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых!!!¿¿¿