Потенциал электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.

При изучении курса механики было показано, что центральные силы (силы которые зависят только от расстояния между частицами) являются потенциальными. Остановимся на вычислении потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов. Рассмотрим перемещение частиц с зарядами  и  из положения (1) (с радиус-векторами ) в положение (2) . Считаем, что частицы перемещаются медленно, так что скорости их практически равны нулю и работа совершается за счет потенциальной энергии взаимодействия этих частиц. В курсе механики, когда мы рассматривали энергию системы взаимодействующих частиц, было показано, что при перемещении двух зарядов из положения (1) в положение (2) работа, совершаемая Кулоновскими силами равна:

(29)

Эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии, (выше мы отмечали, что частицы имеют нулевую скорость). Это значит, что произведенная работа равна убыли потенциальной энергии:

(30)

Отсюда следует, что энергия взаимодействия двух зарядов равна:

(31)

Мы будем выбирать . Остановимся на ситуации, когда пробный (не искажающий поле) заряд находится в поле системы точечных зарядов: Поскольку согласно принципу суперпозиции все точечные заряды действуют на пробный заряд независимо, то потенциальная энергия просто равна сумме потенциальных энергий:

(32)

Из этого выражения видно, что если пробный заряд не изменяет расположение зарядов создающих поле, то его энергия пропорциональна величине заряда. А энергия, численно равная энергии, которую имеет заряд , называется потенциалом электрического поля и обозначается  (см. (32)). Размерность потенциала имеет свое название, которое вы много раз встречали в жизни, это Вольт (В) и дается следующим выражением через основные величины в системе СИ:

,

(33)

Найдем связь между напряженностью и потенциалом поля. При изучении механики было показано, что сила равна минус градиенту от потенциальной энергии. Напишем это соотношение с учетом связи напряженности и потенциала с силой и энергией в электрическом поле: 

(34)

Отсюда следует, что напряженность поля связана с потенциалом так же, как сила с потенциальной энергией:

(35)

И еще одно определение: «Поверхности, на которых потенциал остается постоянным:

,

(36)

называются эквипотенциальными».Вектор напряженности перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям. Рассмотрим эквипотенциальные поверхности некоторых заряженных систем, поле которых известно.

1. Потенциал бесконечной заряженной поверхности.Плотность поверхностного заряда данаиобозначим её . Выберем начало координат в какой-то точке на поверхности, Ось Z направим перпендикулярно поверхности. В этом случае плоскость (X,Y) совпадает заряженной поверхностью. Используя теорему Гаусса мы нашли, что в этом случае вектор напряженности электрического поля равен:

,

(37)

Работа электростатических сил по перемещению заряда из точки (1)  в точку (2)  равна убыли потенциальной энергии:

,

(38)

Что дает следующую интегральную связь между разностью потенциалов и напряженностью электрического поля:

(39)

Чтобы найти потенциал поля в данной точке, необходимо выбрать какую-то точку за начальную, и вычислять интеграл (39) всегда стартуя с этой точки (фактически это означает выбор константы в определении потенциальной энергии). В данном случае такую точку можно выбрать в начале координат. В таком случае потенциал в точке с радиус вектором  равен:

,

(40)

и эквипотенциальными поверхностями являются плоскости

2. Потенциал бесконечной заряженной нити (см. Рис.4) с линейной плотностью . В этом случае удобно выбрать цилиндрическую систему координат с ось Z совпадающей с заряженной нитью. Выберем (1) на расстоянии  от заряженной нити (координату можно выбрать любой) выберем на бесконечности, в таком случае потенциал находится из равенства:

                                 (41)

Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностями являются круговые цилиндры с образующими параллельными заряженной нити эта заряженная нить проходит через центр цилиндра.

3. Потенциал заряженного шара.Будем рассматривать потенциал заряженного шара (заряд ) на расстояниях от центра шара больших его радиуса ( ). Считаем, что заряд распределен по шару так, что его плотность зависит только от расстояния до центра шара. Точку (1) выберем на бесконечности и вычислим потенциал, пользуясь стандартным правилом:

                    (42)

  Очевидно, что такой же потенциал создает и точечный заряд . Эквипотенциальными поверхностями в этом случае являются сферы.

Относительно эквипотенциальных поверхностей можно заметить следующее:

1. Вектор напряженности электрического поля совпадает с нормалью к эквипотенциальной поверхности.

2. При перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности электростатические силы не производят работы.

3. Если распределение зарядов обладает симметрией, то эквипотенциальные поверхности обладают той же симметрией.