![]() Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Поток вектора через поверхность. Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.
Остановимся на понятие потока вектора. Терминология пришла из гидродинамики, науки описывающей движение жидкости. Если по трубе течет жидкость, то в каждой точке можно задать скорость, которая соответствует бесконечно малому элементу жидкости, находящемуся в данной точке. Рассмотрим самый простой случай, когда скорость во всех точках постоянна, а площадка (воображаемая) расположена перпендикулярно скорости течения жидкости (см. Рис.1). В таком случае за время
Рис.1
где
По определению получается, что масса жидкости, протекающая через наклонную площадку положительна, если нормаль к площадке совпадает с направлением нормали к поверхности, и отрицательна, если проекция нормали на скорость является отрицательной. А как быть, если скорость не постоянна, а поверхность имеет сложную форму? Математика говорит, что в этом случае нашу поверхность нужно разбить на много мелких плоских площадок так что:
Ну а масса жидкости, протекающей через сложной формы поверхность и в сложном поле скоростей в таком случае записывается в виде суммы потоков по всем площадкам:
где
Из записи интеграла видно, что используется обозначение
Чаще нам придется использовать поток вектора через замкнутую поверхность, т.е. поверхность, ограничивающую некоторый объем. При этом будем считать, что нормаль к поверхности направлена наружу. Если вспомнить пример с несжимаемой жидкостью, то такое направление нормали (направление наружу) даст нам массу жидкости, которая вытекает из объема, ограниченного рассматриваемой поверхность в единицу времени.
Очевидно, что если в рассматриваемом объеме нет источников, то интеграл по поверхности должен быть равен нулю:
т.е. сколько жидкости втекает, сколько и вытекает (источников то нет). Ну а как обстоит дело с потоком вектора напряженности электрического поля? Для начала посчитаем поток напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом, через сферическую поверхность с центром в месте расположения заряда. Это помимо прочего покажет нам, что в некоторых случаях интеграл по замкнутой поверхности посчитать не так уж и сложно. Итак: 1. Напряженность электрического поля создаваемая почечным зарядом, который мы поместим в начало координат равна (см. (9)):
2. И нужно вычислить интеграл:
где Для вычисления интеграла очень важно выбрать форму элементарных площадок, на которые мы разобьем нашу исходную сферу. Т.е. другими словами, какую систему координат мы выберем. Из симметрии нашей задачи, очевидно, что в нашем случае подходит сферическая система координат. Вам известно, что в этой системе координат положение почки задается расстоянием до начала координат
Получился интересный ответ, из которого видно, что интеграл не зависит от радиуса сферы, а зависит только от величины заряда, который внутри этой сферы находится. Больше того, можно доказать (мы этого делать не будем, хотя это и не сложно), что величина интеграла те зависит от формы поверхности. Таким образом, для любой замкнутой поверхности, внутри которой находится заряд
Ну а если зарядов внутри поверхности несколько? Ответ очевиден. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля от этих зарядов равна сумме напряженности создаваемой каждым зарядом (см. (9))
Таким образом, мы получили, что интеграл по замкнутой поверхности от напряженности электрического поля равен заряду
|
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 435. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |