Поток вектора через поверхность. Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

Остановимся на понятие потока вектора. Терминология пришла из гидродинамики, науки описывающей движение жидкости. Если по трубе течет жидкость, то в каждой точке можно задать скорость, которая соответствует бесконечно малому элементу жидкости, находящемуся в данной точке. Рассмотрим самый простой случай, когда скорость во всех точках постоянна, а площадка (воображаемая) расположена перпендикулярно скорости течения жидкости (см. Рис.1). В таком случае за время  через площадку протечет масса жидкости равная . Здесь — плотность жидкости, которая считается постоянной. Таким образом, для массы, протекающей через нашу площадку в единицу времени получаем:

(11)

Рис.1

А что будет, если площадка стоит под углом по направлению к движению жидкости (см. Рис.2)? Очевидно, что чем больше площадка будет наклонена по направлению к скорости жидкости, тем меньший объем жидкости через неё протечет при прочих равных условиях. Из Рис.2 видно, что роль площади площадки в этом случае играет , а масса жидкости, протекающая через наклоненную поверхность равна:

,

(12)

где  — нормаль к площадке.

Рис.2

По определению получается, что масса жидкости, протекающая через наклонную площадку положительна, если нормаль к площадке совпадает с направлением нормали к поверхности, и отрицательна, если проекция нормали на скорость является отрицательной. А как быть, если скорость не постоянна, а поверхность имеет сложную форму? Математика говорит, что в этом случае нашу поверхность нужно разбить на много мелких плоских площадок так что:

1. В пределах каждой из маленьких площадок скорость можно считать постоянной
2. Сумма всех площадок должна приближаться к исходной площади, а нормали к площадкам не испытывать скачков при переходе от одной площадке к соседней.

Ну а масса жидкости, протекающей через сложной формы поверхность и в сложном поле скоростей в таком случае записывается в виде суммы потоков по всем площадкам:

,

(13)

где — площадь i-ой площадки,  и  — нормаль, проведенная к i-ой площадке и скорость жидкость вблизи этой площадке. Заметьте, что при рассмотрении мы считали , т.е. считали нашу жидкость несжимаемой (для проводимых ниже аналогий этого достаточно). В пределе  сумма переходит в интеграл, который называется потоком вектора  через поверхность Sи записывается в виде:

,

(14)

Из записи интеграла видно, что используется обозначение . Это просто обозначение и ничего больше. Понятно, что понятие потока вектора можно ввести и для любого векторного поля, в частности для вектора напряженности электрического поля:

,

(15)

Чаще нам придется использовать поток вектора через замкнутую поверхность, т.е. поверхность, ограничивающую некоторый объем. При этом будем считать, что нормаль к поверхности направлена наружу. Если вспомнить пример с несжимаемой жидкостью, то такое направление нормали (направление наружу) даст нам массу жидкости, которая вытекает из объема, ограниченного рассматриваемой поверхность в единицу времени.

,

(16)

Очевидно, что если в рассматриваемом объеме нет источников, то интеграл по поверхности должен быть равен нулю:

,

(17)

т.е. сколько жидкости втекает, сколько и вытекает (источников то нет).

Ну а как обстоит дело с потоком вектора напряженности электрического поля? Для начала посчитаем поток напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом, через сферическую поверхность с центром в месте расположения заряда. Это помимо прочего покажет нам, что в некоторых случаях интеграл по замкнутой поверхности посчитать не так уж и сложно. Итак:

1. Напряженность электрического поля создаваемая почечным зарядом, который мы поместим в начало координат равна (см. (9)):

(18)

2. И нужно вычислить интеграл:

,

(19)

где — сфера радиуса с центром в начале координат.

Для вычисления интеграла очень важно выбрать форму элементарных площадок, на которые мы разобьем нашу исходную сферу. Т.е. другими словами, какую систему координат мы выберем. Из симметрии нашей задачи, очевидно, что в нашем случае подходит сферическая система координат. Вам известно, что в этой системе координат положение почки задается расстоянием до начала координат , полярным углом  и азимутальным углом . При этом все точки нашей сферы находятся на расстоянии , площадь элементарной поверхности равна . Учитывая, что нормаль к площадке равна , запишем интересующий нас интеграл в виде:

,

(20)

Получился интересный ответ, из которого видно, что интеграл не зависит от радиуса сферы, а зависит только от величины заряда, который внутри этой сферы находится. Больше того, можно доказать (мы этого делать не будем, хотя это и не сложно), что величина интеграла те зависит от формы поверхности. Таким образом, для любой замкнутой поверхности, внутри которой находится заряд , поток вектора напряженности электрического поля не зависит от положения заряда внутри этой поверхности и равен:

,

(21)

Ну а если зарядов внутри поверхности несколько? Ответ очевиден. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля от этих зарядов равна сумме напряженности создаваемой каждым зарядом (см. (9))  и интеграл равен:

,

(19)

Таким образом, мы получили, что интеграл по замкнутой поверхности от напряженности электрического поля равен заряду , который содержится в внутри поверхности, делённому на электрическую постоянную. Это очень важное уравнение для электростатического поля. Называется это соотношение теоремой Гаусса.