Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

Вообще говоря, применение теоремы Гаусса для нахождения напряженности электрического поля для системы зарядов является непростой задачей. В ряде случаев проще использовать закон Кулона (9), который для случая непрерывного распределения зарядов по некоторому объему  имеет вид (для случая дискретных зарядов см. (9)):

(20)

Однако теорему Гаусса удобно использовать для расчета полей системы зарядов имеющих симметрию. Рассмотрим несколько примеров:

1. Поле бесконечной заряженной плоскости(см. Рис.3). Поверхностная плотность заряда  (заряд, приходящийся на единицу площади) дана.

Рис.3

Из симметрии задачи следует, что вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно плоскости и зависит только от расстояния до плоскости. Мысленно выделим цилиндрический объем с площадью основания  и высотой , основания на расстоянии  в каждую сторону от поверхности. На рисунке показан цилиндр, направления нормалей к основаниям и боковой поверхности и выбранное нами направление вектора напряженности. В таком случае заряд, который попадает внутрь цилиндра, равен , а интеграл по боковой поверхности равен нулю из-за того, что нормаль и вектор напряженности перпендикулярны ( ). В таком случае остаются только интегралы по двум основаниям на которых вектор напряженности постоянен и направлен вдоль нормали. В этом случае теорема Гаусса записывается в виде:

,

(21)

Отсюда получаем:

,

(22)

Таким образом, поле заряженной плоскости не зависит от расстояния до плоскости и направлено от плоскости, если она заряжена положительно  и к плоскости, если она заряжена отрицательно . Для дополнительной уверенности в ответе проверим размерность полученного ответа (никогда не помешает), имея ввиду по определению, что

,

(23)

Сравнивая с (10) делаем вывод, что с точки зрения размерности с ответом все в порядке.

2. Поле бесконечной заряженной нити (см. Рис.4) с линейной плотностью  Линейная плотность — это заряд единицы длины нити и, значит размерность

Рис.4

Для вычисления напряженности поля построим (мысленно) цилиндр радиуса

и длины по центру которого проходит наша нить. Заряд, попавший внутрь цилиндра равен . Из рисунка видно, что вклад в интеграл дает только боковая поверхность. Поэтому, применяя теорему Гаусса, получаем:

,

(24)

что дает:

,

(25)

Правильность размерности легко проверить самостоятельно.

3. Поле заряженного шара. Найдем поле вне заряженного шара. Пусть заряд шара равен . Поместим заряд в начало координат и мысленно окружим заряд сферой радиуса . Считаем, что радиус сферы больше чем радиус исходного шара. Из симметрии задачи, очевидно, что напряженность поля совпадает с нормалью к сфере. В свою очередь нормаль к сфере направлена по радиус-вектору, проведенному в данную точку сферы:

,

(26)

В таком случае модуль напряженности (более точно проекция модуля напряженности на нормаль ) находится из следующего уравнения:

,

(27)

и отсюда имеем:

(28)

Из этого ответа следует, что заряженная сфера за своими пределами создает такое же поле, как и точечный заряд равный заряду сферы и расположенный в её центре.