ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ САУ ПО КРИТЕРИЮ МИХАЙЛОВА.

Для проверки САУ по критерию Михайлова в характеристическом уравнении для замкнутой системы заменяем оператор дифференцирования Р на jw, полученное комплексное число представляем в алгебраической форме записи:

Изменяя значение w от 0 до ¥ определяем значение функции и строим график на комплексной плоскости. На первоначальном этапе определяем точки пересечения годографа Михайлова с действительной и мнимой осями.

1) ;

2) ;

;

.

Изменяя значение w определяем U(w) и V(w), полученные данные сводим в таблицу 4.

Таблица 4.

По данным таблицы строим годограф, рисунок 8.

Анализируя годограф Михайлова делаем следующие выводы:

САУ по критерию Михайлова устойчива, так как при показателе степени характеристического уравнения n=5 кривая обходит в положительном направлении 3 квадрата.

Определенный по графику коэффициент максимального усиления k_max= - 47,3

K_Д– коэффициент усиления, K_Д =4,5

K_З – коэффициент запаса устойчивости, K_З = 15,30

Сравнения его со значением, определенным по критерию Гурвица, мы видим, что они равны:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСАУСТОЙЧИВОСТИ АСР  ПО ФАЗЕ.

Для определения запаса устойчивости по фазе воспользуемся критерием Михайлова – Найквиста. Для этого в периодической функции разомкнутой системы:

Выпишем отдельно числитель и разделим его на вещественную и мнимую составляющие, заменив P на jw:

A=jw²+2,45+1,44

U_A(w) =4,44

jV_A(w) =jw+2.45w

Амплитудно-частотную характеристику численно найдем по формуле:

Фазово-частотную характеристику численно найдем по формуле:

φ_A(w) = -arctg V_A(w)/U_A(w) = -arctg 2.45w/1.44;

Выпишем знаменатель и так же разделим его на вещественную и мнимую части:

B= 0.12·jw⁴-0.64·jw³+1.12jw²+3.45jw+1.44;

U_B(w) =1.12w²+0.12w⁴;

jV_B(w) =3.45·jw-0.64jw³;

Амплитудно-частотную характеристику определим по формуле:

;

Чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы удовлетворяли следующему требованию: необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАЧХ положительна, значения фазы не превышали «-π».

Так как передаточная функция системы содержит интегрирующее звено , то эта система является статической и кривая зависимости  никогда не пересечет «-π», то есть система заведомо устойчива.

Фазово-частотную характеристику определим по формуле

φ_B(w) = -arctg V_B(w)/U_B(w) = -arctg (3.45jw-0.64·w³)/(1.44-1.12·w²+0.12w⁴);

;

;

φ(w) = -Π/2-[ arctg φ_A(w)+ arctg φ_B(w)]

 φ(w) = -Π/2-[ arctg 2.45jw/1.44+ arctg (3.45jw-0.64jw³)/( 1.44-

 -1.12w²+0.12w⁴)]

Изменяя значение w от 0 до ¥ рассчитываем значение действительной и мнимой составляющих. Результаты вычислений сводим в таблицу 5.

По данным таблицы строим годограф, рисунок 9.

Проведя прямую из начала координат до пересечения кривой с окружностью единичного радиуса, определяем угол φ между кривой и осью абсцисс. Полученное численное значение равно запасу устойчивости системы по фазе:

φ=1,31 рад =75°

Рисунок 9 – Запас устойчивости по фазе

По графику определяем запас устойчивости по фазе

Δφ=2,25 рад = 128,916°, больше 30° - следовательно система является устойчивой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В пищевой промышленности чаще всего необходимо измерять, контролировать и регулировать следующие технологические параметры: температуру, давление (разряжение), влажность, уровни рабочих сред в аппаратах и машинах, показатели качества и состава сырья, полуфабрикатов и готового продукта.