Основные физические величины и законы

Закон Ампера

,

где  – сила, с которой магнитное поле действует на элемент длины проводника  с током , вектор  совпадает с направлением тока,  – вектор магнитной индукции.

В скалярном виде

,

где  – угол между векторами  и .

Сила Лоренца

                                        ,

где  – сила, действующая на заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью  (сила Лоренца).

В скалярном виде

                               ,

где  – угол между  и .

Связь магнитной индукции  и напряженности  магнитного поля

где  – магнитная постоянная,  – магнитная проницаемость среды.

Закон Био-Савара-Лапласа

                               ,

где  – напряженность магнитного поля, создаваемого элементом длины  проводника с током ;  – радиус-вектор, приведенный от  к точке, в которой определяется напряженность поля.

В скалярном виде

                               ,

где  – угол между векторами  и .

Из закона Био-Савара-Лапласа следуют формулы, определяющие:

1). напряженность магнитного поля в центре кругового проводника радиуса  с током

                               ;

2). Напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током, в точке, отстоящей от проводника на расстоянии , и определяемой углами  и  между направлением тока и радиус-векторами из начала и конца отрезка в эту точку

                         ;

3). Напряженность магнитного поля, создаваемого «бесконечно длинным» ( ) проводником с током  на расстоянии  от него

                               ;

4). Напряженность магнитного поля внутри соленоида, имеющего  витков, длину , много большую диаметра соленоида D

                               .

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через произвольную поверхность

                               ,

где  – угол между векторами  и ,  – вектор нормали к площадке .

Поток вектора магнитной индукции через площадку  в однородном ( ) магнитном поле соответственно

                               .

Закон электромагнитной индукции

                               ,

где  – э.д.с. индукции.

Э.д.с. самоиндукции

                               ,

где  – индуктивность контура

                               ,

где  – магнитный поток, создаваемый в контуре током .

Индуктивность соленоида (тороида)

                               ,

где  – число витков соленоида,  – его длина,  – площадь сечения.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

                               ,

где  – магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

                               ,

где  – изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Работа перемещения контура при неизменном токе в нем

                             ,

где  и  – начальный и конечный магнитный потоки через контур.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток

                               .

Объемная плотность энергии

                               .

Пример 1. В однородном магнитном поле с индукцией  движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом  и шагом . Определить кинетическую энергию протона.

Дано: ; ; ;

; .

Найти: .

                     Рисунок 18.

Решение. Кинетическая энергия протона (при )

                               .                                               (1.1)

 – скорость света.

Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой линии в случае, когда ее скорость  составляет с направлением вектора индукции  угол , не равный 90⁰. В таком случае частица движется по окружности  в плоскости, перпендикулярной линиям индукции  со значением составляющей скорости  и одновременно поступательно вдоль силовых линий  со значением составляющей скорости .

Как видно из рисунка 4.1 ; .

                               .                                           (1.2)

Согласно второму закону Ньютона

                               .

Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости  и сообщает протону нормальное ускорение .

Отсюда

                               ,                                                 (1.3)

где  – радиус окружности.

Шаг  винтовой линии – это расстояние, пройденное протоном со скоростью  вдоль силовой линии  за время, равное периоду его вращения  по окружности

                               .

Так как , то .

Отсюда

                               .                                        (1.4)

Подставляя формулы (1.3) и (1.4) в уравнение (1.2), находим

            .

Отсюда .

Как видно, .

Таким образом, для кинетической энергии протона по формуле (1.1) получаем значение

                     .

Пример 2.По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной , течет ток силой . Найти магнитную индукцию  в точке пересечения диагоналей квадрата.

Дано: ;

              .

              Найти: .

                                                                           Рисунок 19.

Решение.Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (рисунок 19). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция  поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

                         .                        (2.1)

В точке Опересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: В₁ = В₂ = Вз = В₄. Это позволяет векторное равенство (2.1) заменить скалярным равенством

                                                                              (2.2)

Магнитная индукция В₁ поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой

.                                      (2.3)

Учитывая, что  и (рисунок 4.2), формулу (2.3) можно переписать в виде

                                   .

Подставив это выражение В₁ в формулу (2.2), найдем

                                   .

Заметим, что  и  (так как ), получим

                                   .

Подставим в эту формулу числовые значения физических величин и произведем вычисления:

                .

Пример 3.В однородном магнитном поле с индукцией  равномерно вращается катушка, содержащая  витков, с частотой . Площадь поперечного сечения катушки 100 см². Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с. индукции вращающейся катушки.

Дано: ; ; ; .

Найти: .

Решение. Согласно закону электромагнитной индукции

                               .

 суммарный магнитный поток через все витки катушки (потокосцепление катушки)

                               ,

где  – число витков,  – магнитный поток, пронизывающий каждый отдельный виток.

При произвольном расположении катушки относительно магнитного поля

                               .

Учитывая, что круговая частота , получим

                               .

Тогда

                     .

 при .

Поэтому .

Подставляя численные значения величин получим

            .

Пример 4.Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока

, установился в однородном магнитном поле ( ). Диаметр витка . Какую работу Анужно совершить, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол ?

Дано: ; ; ; ; .

Найти: .

Решение. Работу поворота витка с постоянным током определим по формуле

                               .                                          (4.1)

магнитный поток  через виток в произвольном положении

                               ,

где  – угол между нормалью  к плоскости витка и направлением вектора магнитной индукции .

В начальном (равновесном) положении нормаль  совпадает с направлением вектора , то есть .

После поворота, по условию задачи, .

Таким образом

                     ;

                     .

Подставляя эти выражении в уравнение (4.1), получим

                     .

И так как площадь витка  равна , то окончательно имеем

                               .

Подставляя численные значения величин, получим

            .

Работа внешних сил против сил магнитного поля.

Пример 5.Соленоид имеет длину  и сечение . При некоторой силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток . Чему равна энергия W магнитного поля соленоида? Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.

Дано: ; ; ;

  ; .

Найти: .

Решение. Энергию однородного магнитного поля определим по формуле

                               ,                                                 (5.1)

где  – объем соленоида:

                                                                                               (5.2)

 – объемная плотность энергии магнитного поля

                               .                                                (5.3)

Магнитный поток через каждый виток соленоида

                               ,

так как нормаль  к плоскости витков совпадает по направлению с вектором  и, соответственно,  и .

Отсюда

                               .

Подставляя это выражение в уравнение (5.3), получим

                               .                                             (5.3)

С учетом формул (5.2) и (5.3) уравнение (5.1) принимает вид

                               .

Подставляя численные значения величин, получаем

                     .

Задачи

4.01. Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если индукция поля , а радиус кривизны траектории .

4.02. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле напряженностью . Определить период Т обращения электрона.

4.03. Электрон движется в магнитном поле с индукцией  по окружности радиусом . Какова кинетическая энергия Т электрона? Ответ дать в джоулях и электрон-вольтах.

4.04. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле индукцией  под углом  к направлению линий индукции. Определить силу Лоренца , если скорость частицы  .

4.05. Заряженная частица с энергией  движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом . Определить силу   , действующую на частицу со стороны поля.

4.06. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией . Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если траектория ее представляла дугу окружности радиусом .

4.07. Прямой провод длиной , по которому течет ток силой , движется в однородном магнитном поле с индукцией . Какую работу А совершат силы, действующие на провод со стороны поля, переместив его на , если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и длине провода?

4.08. Электрон, ускоренный разностью потенциалов , влетает в однородное магнитное поле под углом  к направлению поля и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля . Найти: 1) радиус витка винтовой линии; 2) шаг винтовой линии.

4.09. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов

 и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое

( ) и магнитное ( ) поля. Определить отношение заряда частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

4.10. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом  к направлению поля и движется по винтовой линии радиусом 1,5 см. Индукция магнитного поля . Найти кинетическую энергию протона.

4.11. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми , текут одинаковые токи . Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние , если токи текут: а) в одинаковом направлении; б) в противоположных направлениях.

4.12. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи  и . Расстояние между проводниками . Определить индукцию магнитного поля вточке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам.

4.13. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами

 и , течет ток силой . Определить напряженность H и индукцию В магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

4.14. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой

. Сторона треугольника . Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

4.15. Ток силой  идет по проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстояние . Считать, что оба конца проводника находятся очень далеко от вершины угла.

4.16. Магнитная стрелка помещена в центре кругового витка, плоскость которого расположена вертикально и составляет угол  с плоскостью магнитного меридиана. Радиус окружности . Определить угол, на который повернется магнитная стрелка, если по проводнику пойдет ток силой  (дать два ответа). Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной .

4.17. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность магнитного поля в центре окружности . Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей этого квадрата.

4.18. Проволочный виток радиусом  расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлена небольшая магнитная стрелка, могущая вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка, если по витку пустить ток силой ? Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной .

4.19. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной, найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока .

4.20. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу идет ток силой . Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре петли равна .

4.21. Рамка площадью  равномерно вращается с частотой  относительно оси , лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля ( ). Определить среднее значение э.д.с. индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения.

4.22. Рамка, содержащая  витков площадью   равномерно вращается с частотой  в магнитном поле напряженностью . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям напряженности. Определить максимальную э. д. с. индукции, возникающую в рамке.

4.23. Соленоид диаметром , имеющий  витков, помещен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью . ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол . Определить э.д.с. индукции, возникающей в соленоиде.

4.24. В магнитное поле, изменяющееся по закону , помещена квадратная рамка со стороной , причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол . Определить э.д.с. индукции, возникающую в рамке в момент времени .

4.25. В однородном магнитном поле напряженностью , равномерно с частотой  вращается стержень длиной  так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов.

4.26. Соленоид содержит  витков. Сечение сердечника (из немагнитного материала) . По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией . Определить среднее значение э.д.с. самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если ток уменьшается практически до нуля за время

4.27. Кольцо из алюминиевого провода ( ) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца , диаметр провода . Определить скорость изменения магнитного поля, если ток в кольце

4.28. Через катушку, индуктивность которой равна , протекает ток, изменяющейся по закону . Определить максимальное значение э.д.с. самоиндукции.

4.29. В однородном магнитном поле индукцией  вращается с частотой  стержень длиной . Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через середину стержня, перпендикулярно к его оси. Определить разность потенциалов на концах стержня.

4.30. В однородном магнитном поле, индукция которого , равномерно вращается рамка с угловой скоростью . Площадь рамки . Ось вращения находится в плоскости вращения рамки и составляет 30⁰ с направлением силовых линий магнитного поля. Найти максимальную э.д.с. индукции во вращающейся рамке.

4.31. Индуктивность L соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 0,2 мГн. Длина соленоида , диаметр . Определить число витков п, приходящихся на единицу длины соленоида.

4.32. На длинный картонный каркас диаметром  уложенаоднослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром . Определить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока .

4.33. Виток радиусом , по которому течет ток силой , свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью

. Виток повернули относительно диаметра на угол . Определить совершенную работу.

4.34. Тороид диаметром (по средней линии)  и площадью сечения  содержит  витков. Вычислить энергию магнитного поля тороида при силе тока . Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.

4.35. Определить плотность ω энергии магнитного поля в центре кольцевого проводника, имеющего радиус  и содержащего  витков. Сила тока в проводнике .

4.36. Соленоид сечением  содержит  витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида при силе тока  равна . Определить индуктивность L соленоида.

4.37. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью . Поддерживая в контуре постоянную силу тока , его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить индукцию B магнитного поля, если при перемещении контура была совершена работа .

4.38. Соленоид содержит  витков. При силе тока  магнитный поток . Определить энергию W магнитного поля соленоида. Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.

4.39. Обмотка соленоида содержит  витков на каждый сантиметр длины. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля будет равна ? Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.

4.40. Плоский контур с током силой  свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией . Площадь контура . Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол . Определить совершенную при этом работу.

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА