Основные физические величины и законы

Закон Кулона        ,

где  – сила взаимодействия двух точечных зарядов  и  в среде с диэлектрической проницаемостью .  – электрическая постоянная ,  – расстояние между зарядами.

Напряженность  и потенциал  в точках электрического поля

                ; ; ,

где  – сила, действующая со стороны электрического поля на точечный заряд , помещенный в рассматриваемую точку;  – потенциальная энергия заряда  в этой точке поля;  – работа перемещения заряда  из рассматриваемой точки поля за его пределы;  – работа перемещения заряда  между точками 1 и 2.

Напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда  в точках на расстоянии  от заряда

                     ; .

Для точек электрического поля вблизи ( ) заряженной плоскости

                     ; ,

где  – поверхностная плотность заряда плоскости ;  – заряд плоскости;  – площадь плоскости;  – расстояние от плоскости до точек 1 и 2.

Для точек электрического поля вблизи ( ) заряженного цилиндра (нити) длины

            ; ; ;  при ,

где  – линейная плотность заряда цилиндра (нити) ;  – радиус цилиндра;  – заряд цилиндра (нити).

Принцип суперпозиции электрических полей

                     ; ,

где  и  – напряженность и потенциал итогового электрического поля, образующегося при сложении полей с напряженностями  и потенциалами  в рассматриваемой точке.

Электроемкость уединенного проводника

                               ,

где  – заряд проводника,  – потенциал проводника.

Энергия уединенного заряженного проводника

                               .

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

                               ,

где  – потенциал электрического поля, создаваемого всеми зарядами кроме i-го, в той точке, где находится заряд .

Электроемкость конденсатора

                               ; ,

где  – заряд конденсатора,  – напряжение на обкладках конденсатора,  – потенциалы обкладок конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

                               ,

где  – площадь каждой пластины конденсатора,  – расстояние между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора

                               .

Объемная плотность энергии электрического поля

                               .

Электроемкость системы конденсаторов при параллельном и последовательном соединении

                               ; ,

где  – емкость i-го конденсатора,  – число конденсаторов.

Сила и плотность постоянного электрического тока

                         ; ,

где  – заряд, проходящий через сечение проводника за время ,  – площадь сечения проводника.

Для изменяющегося тока

                               .

Сопротивление однородного проводника

                               ,

где  – удельное сопротивление материала проводника,  – длина проводника.

Сопротивление проводников при параллельном и последовательном соединении

                     ; ,

где  – сопротивление i-го проводника,  – число проводников.

Электродвижущая сила  источника тока

                               ,

где  – работа сторонних сил, по перемещению заряда  внутри источника тока.

Закон Ома:

§ для однородного участка цепи

; ,

            Рисунок 6.

§ для неоднородного участка цепи

,

            Рисунок 7.

§ для замкнутой цепи

                                                           ,

                     Рисунок 8.

где  и  – потенциалы начальной и конечной точек участка цепи,  – внутреннее сопротивление источника тока.

Работа тока на участке цепи за время

                                        .

Мощность тока .

Закон Джоуля-Ленца

                                        ,

где  – количество теплоты, выделяющееся на участке цепи с сопротивлением  за время  при токе .

Правила Кирхгофа

                ; ,

где  – силы токов в каждом из  проводников, сходящихся в рассматриваемом узле цепи;  – токи и сопротивления участков цепи произвольного замкнутого контура;  – число участков цепи, на которые этот контур разбивается узлами;  – э.д.с. источников тока, имеющихся в рассматриваемом контуре.;  – число источников тока в контуре.

Пример 1.К бесконечной, равномерно заряженной, вертикальной плоскости подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой  и зарядом , Натяжение нити, на которой висит шарик, . Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

Дано: ;

  ;

  .

  Найти: .

                                            .             Рисунок 9.

Решение. Напряженность  электрического поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью, направлена перпендикулярно плоскости и численно определяется формулой

                     , откуда .

По определению же этой величины имеем

                      или .

Значит

                               ,                                              (1.1)

где  – сила, действующая на заряд  со стороны электрического поля заряженной плоскости.

Запишем условие равновесия заряженного шарика

                               .

Введем силу .

Очевидно, что силы  и  должны быть направлены вдоль одной прямой, чтобы выполнялось

                               .

В скалярном виде

                               .                                                (1.2)

Как видно из рисунка

                               .

Тогда уравнение (1.2) приобретает вид

                               .

Отсюда

                               .                                     (1.3)

Учитывая, что ,  (воздух) и , вычисляем :

  .

Пример 2.Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость . Расстояние между пластинами . Найти: 1) разность потенциалов между пластинами;

2) поверхностную плотность заряда на пластинах.

Дано: ; .

  Найти: , .

Решение.

1). По определению

                               ,                                              (2.1)

где  – работа электрического поля по перемещению заряда  между точками поля с потенциалами  и . В нашем случае  – численное значение заряда электрона.

Работа  электрического поля идет на изменение кинетической энергии электрона

                     ,

где  – масса электрона ,  и  – начальная и конечная скорости электрона.

Как видно из условия,  и получаем

                               .

Таким образом уравнение (2.1) приобретает вид

                               .

Подставим численные значения величин

                               .

2). Поверхностная плотность  заряда на пластинах конденсатора определяет напряженность возникающего однородного электрического поля

                          .

Отсюда                  .                                                  (2.2)

С другой стороны, напряженность  однородного поля связана с разностью потенциалов  точек поля, отстоящих на расстоянии  одна от другой

                               .                                              (2.3)

В нашем случае  разность потенциалов между пластинами конденсатора,  – расстояние между пластинами.

Таким образом, уравнение (2.2) с учетом формулы (2.3) принимает вид

                               .

Подставим численные значения

                     .

Пример 3.К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов  и отключенному от источника напряжения, присоединен параллельно второй конденсатор таких же размеров и формы, но с другим диэлектриком (стекло). Определить диэлектрическую проницаемость εстекла, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до .

Дано: ; ; .

  Найти: .

Решение. Емкость плоского конденсатора определяется формулой

                               .

В нашем случае ; .

Отсюда следует

                               .                                                   (3.1)

С другой стороны, из определения емкости конденсатора  следует:

· для начального состояния первого конденсатора

· для конечных состояний первого и второго конденсаторов

                ; ,

где  – начальный заряд первого конденсатора,  – заряды конденсаторов после их параллельного соединения.

Из этих уравнений следует

                       ; ; .

По закону сохранения зарядов имеем , так как конденсаторы отключены от источника напряжения.

То есть .

Отсюда

                           .                                            (3.2)

Подставляя формулу (3.2) в уравнение (3.1), окончательно получаем

                       ; .

Пример 4. Э. д. с. батареи . Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, . Определить максимальную мощность , которая может выделяться во внешней цепи.

Дано: ; .

  Найти: .

Решение. Мощность, выделяемую во внешней цепи, определяем по формуле

                               ,

где  – сила тока в цепи,  – внешнее сопротивление.

По закону Ома для замкнутой цепи

                               ,                                                  (4.1)

где  – внутреннее сопротивление источника тока.

Учитывая формулу (4.1), получаем

                               .                                                 (4.2)

Для нахождения  вычислим производную  и приравняем ее нулю

                ; .

Отсюда получаем

Значит, , если внешнее сопротивление цепи равно внутреннему.

Тогда формула (4.2) примет вид

                     .                                           (4.3)

Как видно из формулы (4.1) при равенстве нулю внешнего сопротивления (ток короткого замыкания)

                               .

Отсюда находим   .                                                  (4.4)

Подставляя формулу (4.4) в уравнение (4.3) , окончательно находим

                               .

С учетом заданных величин получаем

                               .

Пример 5. Сила тока в проводнике сопротивлением  нарастает в течение времени  по линейному закону от  до  (рисунок 10). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую и Q₂ —за вторую секунды, а также найти отношение .

Дано: ;

  ;

  ;

  .

  Найти: .                                        Рисунок 10.

Решение. Закон Джоуля—Ленца в виде  справедлив для случая постоянного тока . Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

                                     .                                              (5.1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае                               ,                                                      (5.2)

где k — коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

                                    .

С учетом (5.2) формула (5.1) примет вид

                             .                                           (5.3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (5.3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

                              .

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования ,  и, следовательно,

                    .

При определении теплоты Q₂ пределы интегрирования ,  и

                    .

Следовательно,              ,

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Пример 6.Три источника тока с ; ;  и внутренними сопротивлениями, соответственно, ; ; , а также сопротивления ; ;  соединены как показано на рисунке 11.

Найти токи в каждой ветви цепи и разность потенциалов между точками В и А.

Дано: , , ;

  , , ;

  , , ;

  Найти: .

                                                                 Рисунок 11.

Решение. Воспользуемся правилами Кирхгофа.

Выберем направления токов  и укажем на схеме.

В соответствии с первым правилом  для узла А имеем

                               .                                           (6.1)

В соответствии со вторым правилом

для контура  (обход по часовой стрелке)

                     ;                         (6.2)

для контура  (обход против часовой стрелки)

                     .                            (6.3)

Уравнения (6.1), (6.2) и (6.3) после подстановки заданных численных значений величин образуют систему трех уравнений для отыскания токов

                     .

Решая эту систему, находим

                     ; ; .

Для нахождения разности потенциалов  воспользуемся законом Ома для неоднородного участка цепи

                     ,

применив его для любой из ветвей данной цепи. Выберем, например, первую ветвь цепи .

Получим               .

Отсюда .

После подстановки численных значений величин находим

                     .

Задачи

3.01. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями  и , находятся на расстоянии  друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

3.02. Расстояние d между двумя точечными зарядами  и

 равно 60 см. Определить точку, в которую нужно поместить третий заряд  так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?

3.03. На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром  равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью . Определить напряженность поля в точке, отстоящей от поверхности цилиндра на .

3.04. Два одинаковых металлических заряженных шара находятся на расстоянии . Сила отталкивания шаров . После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной . Вычислить заряды  и , которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.

3.05. Электрон, обладающий кинетической энергией , влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов ?

3.06. Определить потенциальную энергию системы двух точечных зарядов  и , находящихся на расстоянии  друг от друга.

3.07. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от плоскости на  и .

3.08. Пылинка массой , несущая на себе заряд , влетела в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов  пылинка имела скорость . Определить скорость пылинки до того, как она влетела в поле.

3.09. Три одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала , сливаются в одну. Каков потенциал образовавшейся капли?

3.10. Точечные заряды  и  находятся на расстоянии  друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на  от первого и,  от второго заряда. Определить также силу, действующую в этой точке на точечный заряд .

3.11. Между пластинами плоского конденсатора вложена тонкая слюдяная пластинка. Какое давление испытывает эта пластинка при напряженности электрического поля ?

3.12. Плоский конденсатор с площадью пластин  каждая заряжен до разности потенциалов  . Расстояние между пластинами

. Диэлектрик – стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность ω энергии поля.

3.13. Расстояние между пластинами плоского конденсатора , разность потенциалов . Заряд каждой пластины . Определить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.

3.14. Емкость плоского конденсатора . Диэлектрик – фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов  и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора?

3.15. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом

 каждая. Расстояние между пластинами . Конденсатор присоединен к источнику напряжения . Определить заряд и напряженность поля конденсатора, если диэлектриком будут: а) воздух; б) стекло.

3.16. Пластины плоского конденсатора площадью 100 см² каждая притягиваются друг к другу с силой  Пространство между пластинами заполнено слюдой. Найти: 1). заряды, находящиеся на пластинах, 2). напряженность поля между пластинами, 3). энергию в единице объема поля.

3.17. Два конденсатора емкостью  и  соединены последовательно и присоединены к батарее э. д. с. . Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.

3.18. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: слоем стекла толщиной  и слоем парафина толщиной . Разность потенциалов между обкладками . Определить напряженность поля и падение потенциала в каждом из слоев.

3.19. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см² каждая равна 280 В. Поверхностная плотность заряда на пластинах . Найти: 1). напряженность поля внутри конденсатора, 2). расстояние между пластинами, 3). скорость, которую получит электрон, пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой, 4). энергию конденсатора.

3.20. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см² и расстоянием между ними 1 мм заряжен до 100 В. Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением отключается.

3.21. Имеется 120-вольтовая лампочка мощностью 40 Вт. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети 220 В? Сколько метров нихромовой проволоки диаметром 0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротивление?

3.22. В сеть с напряжением  включили катушку с сопротивлением  и вольтметр, соединенные последовательно. Показание вольтметра . Когда катушку заменили другой, вольтметр показал . Определить сопротивление другой катушки.

3.23. Определить число электронов, проходящих в секунду через единицу площади поперечного сечения железной проволоки длиной  при напряжении на ее концах .

3.24. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некоторого максимального значения в течение времени . За это время в проводнике выделилась теплота . Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление его .

3.25. От батареи, э. д. с. которой , требуется передать энергию на расстояние . Потребляемая мощность : Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов .

3.26. Э. д. с. батареи , внутреннее сопротивление . Внешняя цепь потребляет мощность . Определить силу тока I в цепи, напряжение U, под которым находится внешняя цепь, и ее сопротивление .

3.27. Э. д. с. батареи . При силе тока  к. п. д. батареи . Определить внутреннее сопротивление  батареи.

3.28. При внешнем сопротивлении  сила тока в цепи , при сопротивлении  сила тока . Определить силу тока короткого замыкания источника э. д. с.

3.29. По проводнику сопротивлением  течет равномерно возрастающий ток. За время  в проводнике выделилась теплота . Определить заряд q, протекший за это время по проводнику. В момент времени, принятый за начальный, ток в проводнике был равен нулю.

3.30. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление , а затем на внешнее сопротивление . Найти э.д.с. элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова и равна 2,54 Вт.

3.31. В схеме рисунок 12  и  – два элемента с равными э.д.с. 2 В. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно  и . Чему равно внешнее сопротивление  если сила тока , текущего через , равна 1 А? Найти силу тока , идущего через . Найти силу тока , идущего через сопротивление .

                             Рисунок 12.

3.32. Определить силу тока в каждом элементе и напряжение на зажимах сопротивления  (см.рисунок 3 31), если , , ,  и .

3.33. Какая разность потенциалов получается на зажимах двух элементов, включенных параллельно, если их э.д.с. равны соответственно  и  и внутренние сопротивления  и ?

3.34. Определить силы токов на всех участках электрической цепи (см. рисунок 13), если , , , , , . Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

            Рисунок 13.                          Рисунок 14.

3.35. Три сопротивления ,  и , а также источник тока  соединены, как показано на рисунке 14. Определить э. д. с. источника, который надо подключить в цепь между точками A и В, чтобы в сопротивлении R₃ шел ток силой 1А в направлении, указанном стрелкой. Сопротивлением источников тока пренебречь.

3.36. Определить разность потенциалов между точками А и В (рисунок 15), если , , , , . Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

            Рисунок 15.                          Рисунок 16.

3.37. Определить силу тока в сопротивлении R₃(рисунок 15) и напряжение на концах этого сопротивления, если , , , , . Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

3.38. Два источника тока  с внутренним сопротивлением  и  с внутренним сопротивлением , а также реостат  соединены, как показано на рисунке 16. Определить силы тока в реостате и в источниках тока.

3.39. В схеме рисунка 17 , ,  и падение потенциала на сопротивление  (ток через  направлен сверху вниз) равно 1 В. Найти показание амперметра. Внутренним сопротивлением элементов и амперметра пренебречь.

                    Рисунок 17.

3.40. В схеме рисунка 17 , , , . Через амперметр идет ток 1 А, направленный от  к . Найти сопротивление . Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ