Средняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность.

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величины недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измерений, т.к. в ряде измерений может быть не отражено наличие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку последние взаимно компенсируются.

И Гаусс предложил критерий оценки точности измерений, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погрешностей ряда – среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая ошибка (погрешность) измерений – это корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей и вычисляется по формуле:

.

Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность m вычисляют по уклонениям

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

m = , где [ ²] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений, n-1 – число избыточных измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

Больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;

Больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;

Больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную:

                                    с вероятностью ошибки равной порядка 1%.

Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сумму двух величин:

Z = x ± y,

Где x и y – независимые слагаемые.

Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном измерении обозначим соответственно ∆x, ∆y, ∆z, тогда

z+ ∆z = (x+∆x) ± (y +∆y), откуда  ∆z = ∆x + ∆y.

Если каждое слагаемое было измерено n раз, то, написав n соотношений (см выше) и возведя каждое в квадрат, получим n выражений:

Сложив левые и правые части n таких уравнений и разделив затем обе части равенства на n, получим: 

где [∆Х∆Y] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремиться к нулю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слагаемое равенства, получим:

В соответствии с формулой можно написать: ,

Где m_z, m_х, m_y – средние квадратические погрешности функции и аргументов.

По аналогии для алгебраической суммы n независимых величин

                                 Z= Х₁±Х₂±… ± Х_n,

Можно записать

                               ,

т.е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.

В частном случае, когда

                                           m₁=m₂=...= m_n =m,

          формула примет вид: m_z = m ,

т.е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в  раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит