Решение систем линейных уравнений с помощью матричных функций

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

а₁₁ + а₁₂ + … + а_1n = b₁,

а₂₁ + а₂₂ + … + а_2n = b₂,

………………..

a_m1 + а_m2 + … + а_mn = b_m,

где а_ij и b_i, – коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Если коэффициенты при неизвестных представить в виде матрицы

А = , а свободные члены и неизвестные в виде матриц-векторов В = иX = , то в матричном виде система линейных уравнений можно записать как АХ=В. Если обе части этого равенства умножить слева на матрицу А^-1, то равенство не изменится и примет вид: А^-1АХ = А^-1В. Произведение А^-1А даст единичную матрицу, которую можно опустить, таким образом, Х = А^-1В, т.е. для нахождения неизвестного вектора Х необходимо найти обратную к А матрицу и перемножить ее с В:

Х = А^-1В.

Для решения таких систем используют матричные функции.

Матричные функции

Матричные функции используют для решения систем уравнений размерности nxn, т.е. когда число уравнений в системе равно числу неизвестных:

функция МОПРЕД(массив) возвращает определитель матрицы;

функция МОБР(массив) служит для нахождения обратной матрицы;

функция МУМНОЖ(массив1; массив2) возвращает произведение матриц.

Для нахождения определителя матрицы выделите свободную ячейку, вызовите встроенную функцию МОПРЕД, где в качестве массива укажите диапазон ячеек с исходной матрицей, нажмите ОК. Результат вычисления появится в выделенной ячейке.

Для нахождения обратной матрицы выделите пустой диапазон такого же размера, как и исходная матрица, вызовите функцию МОБР, где в качестве массива укажите диапазон ячеек с исходной матрицей, нажмите сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter. В выделенном диапазоне отобразится обратная матрица.

Нахождение произведения матрицы А на матрицу В возможно, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Для нахождения произведения матриц выделите пустой диапазон такого же размера, как и исходная матрица В, вызовите функцию МУМНОЖ, где в качестве массива1 укажите диапазон ячеек с исходной матрицей А, в качестве массива2 – диапазон ячеек с матрицей В и нажмите сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter. В выделенном диапазоне отобразится результат умножения матриц.

Над диапазонами, также как и над числами, можно производить арифметические операции, только в этом случае завершаться операция должна не нажатием клавиши Enter, а нажатием сочетания клавиш Shift+Ctrl+Enter!

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Для решения системы уравненийметодом Крамера необходимо вычислить определитель исходной матрицы и определители частных матриц, полученных заменой i-го столбца на вектор свободных членов. Для нахождения вектора Х необходимо найти отношения частных определителей к общему, т.е. х_j = D_j/D.