МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

2.1 Оптимальный приём двоичных сигналов.Постановка задачи

Важным показателем систем связи является помехоустойчивость, т.е. способность системы связи противостоять вредному влиянию помех.

При рассмотрении вопросов передачи и приёма двоичных последовательностей полагают, что источник дискретных сообщений вырабатывает на своём выходе последовательность двух элементов (символов) – единицы и нуля с соответствующими вероятностями их появления p(1)и p(0).

Для их передачи используют два различных сигнала S₁(t) и S₂(t), длительность каждого из которых равна длительности элемента последовательности Т.

На вход приёмного устройства поступает смесь переданного сигнала и помехи, т. е.

Z(t) = S_i (t) + x (t).

В курсовой работе рассматривается канал с постоянными параметрами и аддитивной помехой типа гауссовского белого шума. Такие (гауссовские) каналы являются достаточно хорошей моделью многих реальных каналов передачи цифровой информации, в частности, кабельных, оптических, радиорелейных, космических и других.

Для количественной оценки влияния помех и других факторов, вызывающих отличие принятой последовательности от переданной, вводится критерий оценки качества принятой информации. При передаче дискретных сообщений за такой критерий принимают вероятность ошибки приёма одного элемента двоичной последовательности.

Приёмник, в результате анализа принятой конкретной реализации Z(t) на интервале времени 0 £ t £ T , должен установить, какой из возможных сигналов S_i (t) (S₁(t) или S₂(t)) присутствует на его входе, и в соответствии с этим принять решение о приеме символа 1 или 0. Это классическая задача теории связи – задача различения двух сигналов. В случае, когда один из сигналов тождественно равен нулю (например, ДАМ), имеем задачу обнаружения сигнала в интервале времени 0 £ t £ T на фоне помех.

Для различения сигналов в приёмнике необходимо (с допустимой погрешностью) устанавливать начало и конец интервала анализа каждой реализации Z(t), поступающей на вход приёмника. Такая задача решается устройством синхронизации, которое позволяет определять начало и окончание каждого элемента сигнала (сообщения) в принятой последовательности.

Алгоритм различения двух и более сигналов на фоне белого гауссовского шума имеет ясный физический смысл: наиболее вероятным переданным сигналом считается тот сигнал, который меньше отличается (в среднеквадратичном смысле) от принятого сигнала. Таким образом, оптимальный приемник минимизирует среднюю вероятность ошибки. В аналитической форме алгоритм оптимального приёмника при равновероятных сигналах имеет вид

Если ,   то Z(t) º S₁(t), иначе S₂(t), (2.1)

т.е. решение принимается в пользу сигнала S₁(t).

При этом считается, что все параметры сигнала в точке приёма известны, т. е. известны его форма, амплитуда, частота, задержка во времени и начальная фаза (приём полностью известных сигналов). Неизвестным в этом случае является только то, какой из возможных сигналов передаётся на данном интервале
наблюдения  0 £ t £ T .

Выражение (2.1) позволяет представить алгоритм в виде структурной схемы оптимального приёмника, т. е. решить задачу оптимального синтеза.

Для передачи элементов двоичного кода (0 или 1) обычно используются сигналы с дискретной амплитудной модуляцией (ДАМ), частотной модуляцией (ДЧМ) и фазовой модуляцией (ДФМ или ДОФМ). Для конкретного вида используемых сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ алгоритм оптимального приёмника и соответствующая ему структурная схема получаются на основании общего алгоритма (2.1), при этом оптимальный приёмник должен вычислять значение функции взаимной корреляции вида

.                                                    (2.2)

Для этого используется или коррелятор, или согласованный фильтр, которые обеспечивают одинаковую помехоустойчивость, т. е. эквивалентны.

В процессе передачи элементы кода искажаются помехами, причем, наблюдаются ошибки двоякого рода:

1 При передаче элемента 0 может быть ошибочно принят элемент 1, вероятность такого события (перехода 0®1) обозначим через p(1/0) — вероятность приема 1 при передаче 0.

2 При передаче элемента 1 может быть ошибочно принят элемент 0, вероятность такого события (перехода 1®0) обозначим через p(0/1) — вероятность приема 0 при передаче 1.

Средняя вероятность ошибки определяется по формуле

 p_ош = p(0)× p(1/0) + p(1)× p(0/1).                                     (2.3)

В дальнейшем будем считать, что априорные вероятности передачи элементов кода равны, то есть p(0) = p(1) = 0,5, при этом

p_ош = 0,5[p(1/0) + p(0/1)].                                                (2.4)

Помеху в канале связи будем считать флуктуационной с нормальным законом распределения мгновенных значений

w (x) = .                                             (2.5)

Вероятность ошибки зависит: от вида модуляции, способа детектирования (когерентный, некогерентный), способа фильтрации сигналов в приёмнике (оптимальный фильтр, неоптимальный фильтр), мощности P_с (энергии E_с) сигнала, мощности P_п (спектральной плотности N₀) помехи.

Если в приёмнике используется неоптимальный фильтр, вероятность ошибки зависит от величины отношения мощности сигнала к мощности помехи (отношение сигнал/шум по мощности) h² = P_с / P_п.

При использовании в приёмнике оптимального фильтра вероятность ошибки определяется величиной отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности помехи h₀² = E_с / N₀ = P_сT_с/ N_0.

В приёмнике с оптимальным фильтром отношение сигнал/шум больше, чем в приёмнике с неоптимальным фильтром и, соответственно, помехоустойчивость выше.

Приёмник с оптимальным фильтром и когерентным способом приёма обеспечивает потенциальную помехоустойчивость для заданного вида модуляции.

Помехоустойчивость приема сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ, ДОФМ в указанных выше условиях можно определить, вычисляя среднюю вероятность ошибки следующим образом.

2.2 Дискретная амплитудная модуляция

Элементами сигналов ДАМ являются посылки (кодовый элемент «1») и паузы (кодовый элемент «0»)

           0 £ t £ T,

где Т – длительность элемента сигнала.

Некогерентный прием

Прием сигнала ДАМ в этом случае осуществляется путем сравнения уровня сигнала после амплитудного детектора (детектора огибающей) с некоторым пороговым уровнем U_п решающей схемы приемника (рис. 2). Ошибки возникают в случаях:

1 При передаче посылки огибающая суммы сигнала и помехи (E_сп) оказывается меньше порогового уровня U_п (переход 1®0).

2 При передаче паузы огибающая помехи E_п оказывается больше U_п (переход 0®1).

Вероятности этих событий определяются через соответствующие распределения значений огибающих (рис. 3,а и рис 3,б)

,                                            (2.6)

где w(E_сп)– плотность распределения огибающей суммы сигнала и помехи, которая, как известно, определяется обобщенным законом Релея (Релея-Райса),

,

w(E_п) – плотность распределения огибающей помехи, определяется простым законом Релея.

.

Средняя вероятность ошибки с учетом (2.4) и (2.6) равна

 p_{ошАМнкг = 0,5} .                           (2.7)

Значение p_ош зависит от порогового уровня U_п решающей схемы. Можно показать, что вероятность ошибки минимальна, когда U_п  (при a² » s²), т.е в этом случае U_п имеет оптимальное значение. При этом окончательно получаем

p_{ошАМнкг} ,                          (2.8)

где  – отношение мощностей сигнала и помехи (отношение сигнал / шум), а

Ф(z)  

– табулированный интеграл вероятностей.

Зависимость p_ош = f(h) при некогерентном приеме показана на рис. 5 (кривая 1).

Если h² » 1, то

p_{ош.АМ нкг} » .                                     (2.9)

Максимальная помехоустойчивость при приеме сигналов ДАМ наблюдается в том случае, если применяется оптимальная фильтрация сигналов. В этом случае необходимо в ф-ле (2.9) вместо подставить , равное

,                                                                          (2.10)

где  – энергия элемента сигнала,

N₀ – спектральная плотность мощности помехи.

Когерентный прием

При когерентном приеме применяется синхронный детектор, который устраняет влияние ортогональной составляющей вектора помехи (рис. 2). Составляющая x=E_п·cosj имеет нормальный закон распределения и мощность . Поэтому вероятность искажения посылки р(0/1) и вероятность искажения паузы р(1/0) будут равны (рис. 4)

              и   , 

где w(x/a) и w(x)-плотности распределения вероятностей мгновенных значений сигналов на выходе детектора при приёме посылки и паузы соответственно

      и   .

Средняя вероятность ошибки будет равна

p_ошАМкг = 0,5 .

При оптимальном значении порогового уровня решающей схемы  , вероятность ошибки минимальна и равна

p_ошАМкг = ,                                             (2.11)

где   – отношение сигнал / шум.

Зависимость p_ошАМ = f(h) при когерентном приёме показана на рис. 6 (кривая 2).

При когерентном приеме достигается потенциальная помехоустойчивость, если в приемнике осуществить оптимальную фильтрацию сигнала. При этом достигается максимальное отношение сигнал /шум

 ,

и в ф-ле (2.11) h  заменяется на  h₀.