ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ (кпф) ПРИ РАСЧЁТЕ пп

ЗАДАЧА 7.79. Рассчитать напряжение u₂(t) (выходная величина) переходного процесса при подключении цепи задачи 5.42 /1/ к источнику постоянного тока (входная величина) J = 0,05 A классическим и операторным методами. Формула для комплексного передаточного сопротивления, полу-ченная при решении задачи 5.42:   Z(jw) = =  Ом.

Решение

1. При решении задачи классическим методом напряжение u₂(t) ищется в виде суммы принуждённой и свободной составляющих:

u₂(t) = u_2пр(t) + u_2св(t).

Поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая также является постоянной и может быть определена через комплексное передаточ-ное сопротивление при частоте  w = 0:

Z(0) = = = 1250 Ом; u_2пр = Z(0)·J = 1250·0,05 = 62,5 В.

Комплексное передаточное сопротивление является так называемой системной функцией. Для получения характеристического уравнения нужно в ней заменить jw  на р и знаменатель дроби приравнять к нулю. Получаем:

р + а₀ = 0, р = -а₀ = -66,67 с ^-1.

При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: u_2св(t) = А·е ^рt, где постоянная интегрирования А находится из начальных условий – А = u_2св(0) = u₂(0) – u_2пр(0).

Для получения начального значения напряжения u₂(0) снова используем комплексное передаточное сопротивление, но теперь при частоте, равной бесконечности:  Z(¥) = = = 0.

Тогда u₂(0) = Z(¥)·J = 0,  и  А = -u_2пр(0) = -62,5.

Окончательно получаем: u₂(t) = 62,5 – 62,5·е ^-66,67t В.

2. Для расчёта выходного напряжения u₂(t) операторным методом используем операторное передаточное сопротивление Z(р), которое получаем из комплексного передаточного сопротивления заменой jw  на р:

Z(р) = = .

Изображения тока источника и выходного напряжения (используем MathCAD):

J(s) := J , то есть J(р) = ;  

u2(р) := Z(р)·J(р) u₂(р) .

Оригинал искомого напряжения получаем с помощью обратного преобразования Лапласа:

u2(t) := u2(р)   62.5 – 62.5·е ^(-66,67)·t.

ЗАДАЧА 7.80. Решить задачу 7.79 спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный прямоугольный импульс тока амплитудой   J = 0,05 A  и длительностью t = а₀ ^-1 = 0,015 с.

Решение

Мгновенное значение тока воздействия может быть записано аналитически следующим образом: J(t) := .

Для выполнения операций преобразования Лапласа в среде MathCAD запишем мгновенное значение тока одной формулой, используя скачкообразную единичную функцию (функцию Хевисайда) 1(t), которая в MathCAD обозначается как Ф(t):  J(t) := 0.05·(Ф(t) – Ф(t–t)).

Изображение тока источника:

J(s) := J(t)  – .5000е-1· ,

то есть    J(р) = (1 – е ^-pt).

Спектральная плотность тока источника может быть получена из изображения тока заменой р на jw: J(w) :=  (1 – е ^–j·w·t). 

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление: u2(w) := Z(w)·J(w).

Наконец, с помощью системы MathCAD выполняем вычисление интеграла обратного преобразования Фурье: u2(t) = · .

Поскольку вычисление несобственных интегралов в системе MathCAD не предусмотрено (ввиду численного решения задаваемого интеграла), то вместо бесконечных пределов возьмём достаточно большие конечные, напри-

мер, 60000, допуская тем самым не слишком большую ошибку:

u2(t) := · .

Для любого значения времени можно получить ответ. Например,

u2(0.005) = 17.717 u2(0.01) = 30.386       u2(0.05) = 2.113.

Наконец, напряжение u2(t) в виде графика можно получить, используя встроенную в MathCAD функцию invfourier:

u2(t) := u2(w) ® 31,24·Ф(1.·t) – 31.24·Ф[(-1).·t] – 62.49·e^(-66.67)·t·…

График напряжения u2(t) приведен на рис. 7.116.

ЗАДАЧА 7.81. Решить задачу 7.79 с помощью интеграла Дюамеля, операторным и спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный импульс тока, график которого приведен на рис. 7.117,а. Построить график выходного напряжения.

Решение

1. Для решения задачи с использованием интеграла Дюамеля необходимо предварительно определить переходную характеристику (в данном случае – переходное сопротивление), которая по определению является реакцией цепи на единичное скачкообразное воздействие (функцию Хевисайда), операторное изображение которой 1/р. Другими словами, переходная характеристика численно равна выходной величине при включении цепи на единичную входную величину (в данном случае на 1 А). Определим эту переходную характеристику, используя операторное передаточное сопротивление, полученное из комплексного передаточного сопротивления заменой jw на р, путём преобразований Лапласа, которые сделаем с помощью программы MathCAD. В задаче 7.79 получено:

Z(р) = = .

Тогда изображение выходного напряжения u2(р) := Z(р)· .

Искомая переходная характеристика

g(t) := u2(р)  1250. – 1250.·e ^(-66.67)·t

Импульс входного тока аналитически описывается двумя формулами:

- на интервале 0 £ t £ t₁ = 0,01 с j1(t) := 0.01 + 4·t;

- на интервале t₁£ t                         j2(t) := 0.

Искомое напряжение при 0 £ t £ t₁ = 0,01 с:

u21(t) := j1(0)·g(t) +

u21(t)  5000.·t – 75.00 + 75.00·e ^(-66.67)·t.

При t ³ t₁     u22(t) := j1(0)·g(t) + + (0 – j1(t1))·g(t – t1)

u22(t)  (-12.50) – 12.50·e ^{(-66.67)·t + .6667} + 75.00·e ^(-66.67)·t.

Ответ записываем в следующем виде:  u2(t) := 0 if t < 0

u21(t) if 0 £ t £ t1

u22(t) otherwise

Таким образом, имеем следующий ответ:

u₂(t) =

График напряжения построен на рис. 7.117,б.

2. Выполним расчёт операторным методом.

Аналитическое выражение тока источника, записанное с использованием функции Хевисайда Ф(t):

j(t) := (0.01 + 4·t)·(Ф(t) – Ф(t – t1)).

Изображение тока источника:

J(s) := j(t) – .5000e-1· + – 4.· .

Изображение выходного напряжения: u2(р) := Z(р)·J(р).

Оригинал выходного напряжения:

u2(t) := u2(р)  62.50·e ^(-66.67)·t – 62.50 – 12.50·Ф(t – .1000е-1)·

·e ^{(-66.67)·t + .6667} + 62.50·Ф(t – .1000е-1) + 5000.·t – 5000.·t·Ф(t – .1000е-1).

График напряжения, построенный по последней формуле, приведен на рис. 7.117,б.

3. Выполним расчёт спектральным методом.

Оригинал и изображение тока источника:

j(t) := (0.01 + 4·t)·(Ф(t) – Ф(t – t1))

J(s) := j(t) – .5000e-1· + – 4.· .

Спектральная плотность тока источника:

J(w) := – .5000e-1· + – 4.· .

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление: u2(w) := Z(w)·J(w),  где комплекс-ное передаточное сопротивление Z(w) := .

С помощью системы MathCAD выполняем вычисление интеграла обратного преобразования Фурье:  u2(t) := · .

Вместо бесконечных пределов возьмём достаточно большие конечные, например, 60000: u2(t) := · .

Для любого значения времени можно получить ответ. Например,

u2(0.005) = 7.283   u2(0.01) = 19.566         u2(0.05) = 1.361.

Сравните полученные ответы с графиком рис. 7.117,б.

ЗАДАЧА 7.82. Рассчитать напряжение u₂(t) переходного процесса при подключении цепи задачи 5.43 /1/ к источнику постоянного тока  J = 0,05 A операторным методом. Формула для комплексного передаточного сопротивления, полученная при решении задачи 5.43:

Z(jw) =  Ом.

Решение

Последовательность решения задачи такая же, как и задачи 7.79. Поэтому приведём лишь ответы.

Операторное передаточное сопротивление Z(р) получаем из комплексного передаточного сопротивления заменой  jw  на  р:

Z(р) := .

Изображения тока источника и выходного напряжения:

J(s) := J , то есть J(р) = ;  

u2(р) := Z(р)·J(р) u₂(р) .

Оригинал искомого напряжения получаем с помощью обратного преобразования Лапласа:

u2(t) := u2(р)   71.43 – 71.43·е ^(-500.)·t·cos(316.2·t) –

 – 112.9·е ^(-500.)·t·sin(316.2·t).

ЗАДАЧА 7.83. Решить задачу 7.82 с помощью интеграла Дюамеля, операторным и спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный импульс тока, график которого приведен на рис. 7.117,а. Построить график вы-ходного напряжения.

Решение

Последовательность решения задачи такая же, как и задачи 7.81. Поэтому приведём лишь ответы.

1. Z(р) := .

Переходная характеристика

g(t) := Z(р)·

® 1429. – 1429.·е ^(-500.)·t·cos(316.2·t) – 2259.·е ^(-500.)·t·sin(316.2·t).

Импульс входного тока аналитически описывается двумя формулами:

- на интервале 0 £ t £ t₁ = 0,01 с j1(t) := 0.01 + 4·t;

- на интервале t₁£ t                         j2(t) := 0.

Искомое напряжение при 0 £ t £ t₁ = 0,01 с:

u21(t) := j1(0)·g(t) +

u21(t)  (-2.040) + 5716.·t + 2.040·e ^(-500.)·t·cos(316.2·t) –

– 14.85·e ^(-500.)·t·sin(316.2·t).

При t ³ t₁

u22(t) := j1(0)·g(t) + + (0 – j1(t1))·g(t – t1)

u22(t)  2.040·e ^(-500.)·t·cos(316.2·t) – 14.85·e ^(-500.)·t·sin(316.2·t) +

+ 55.12·e ^{(-500.)·t + 5.}·cos(316.2·t – 3.162) + 105.2·e ^{(-500.)·t + 5.}·sin(316.2·t – 3.162).

Ответ записываем в следующем виде: u2(t) := 0 if t < 0

u21(t) if 0 £ t £ t1

u22(t) otherwise

График напряжения построен на рис. 7.118.

2. Выполним расчёт операторным методом. Оригинал тока источника:

j(t) := (0.01 + 4·t)·(Ф(t) – Ф(t – t1)).

Изображение тока источника:

J(s) := j(t) – .5000e-1· + – 4.· .

Изображение выходного напряжения: u2(р) := Z(р)·J(р).

u2(р) (-.5е7)·

Оригинал выходного напряжения:

u2(t) := u2(р)  (-2.041) + 2.041·e ^(-500.)·t·cos(316.2·t) –

– 14.84·e ^(-500.)·t·sin(316.2·t) + 2.041·Ф(t – .1000е-1) +

+ 55.10·Ф(t – .1000е-1)·e ^{(-500.)·t + 5.}·cos(316.2·t – 3.162) +

+ 105.2·Ф(t – .1000е-1)·e ^{(-500.)·t + 5.}·sin(316.2·t – 3.162) +

+ 5714.·t – 5714.·t·Ф(t – .1000е-1).

График напряжения, построенный по последней формуле, приведен на рис. 7.118.

3. Выполним расчёт спектральным методом.

Спектральная плотность тока источника, полученная по изображению тока источника

J(w) := – .5000e-1· + – 4.· .

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление: u2(w) := Z(w)·J(w), где комплекс-ное передаточное сопротивление

Z(w) = .

С помощью системы MathCAD выполняем вычисление интеграла обратного преобразования Фурье:  u2(t) := · .

Вместо бесконечных пределов возьмём достаточно большие конечные, например, 60000:  u2(t) := · .

Для любого значения времени можно получить ответ. Например,

u2(0.005) = 25.311   u2(0.01) = 55.09         u2(0.015) = 8.595.

Сравните полученные ответы с графиком рис. 7.118.

Подытоживая анализ задач 5.42, 5.43, 6.5, 7.79 – 7.83, можем сказать, что при помощи комплексной передаточной функции можно определить реакцию цепи при любой форме воздействия.