СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА пп

Спектральный метод применяется для определения реакции цепи (обычно это – одна выходная величина, некоторый ток или напряжение) на воздействие (входная величина) в виде импульса или серии импульсов. Эта реакция представляет собой некоторый переходный процесс. Суть метода заключается в том, что импульс воздействия представляют в виде суммы бесконечного числа (в виде интеграла) бесконечно малых по амплитуде синусоидальных функций времени, имеющих разные амплитуды, частоты и начальные фазы. Анализ процессов спектральным методом выполняют с помощью прямого (*) и обратного (**) преобразования Фурье:

F(jw) = F(w)·e ^jY(w) = , (*)        f(t) = . (**)

Здесь функция времени (сигнал) f(t) – оригинал, изображение F(jw) – спектральная характеристика или спектральная плотность сигнала, F(w) – амплитудно-частотная, а Y(w) – фазо-частотная характеристики.

В случаях, когда функция f(t) отлична от нуля только в интервале  t > 0, прямое преобразование Фурье называют односторонним, которое является частным случаем преобразования Лапласа, в котором комплексная перемен-ная р заменена мнимой переменной jw:  F(jw) = .

Спектральный метод анализа процессов в цепях включает в себя: определение спектральной плотности сигнала воздействия (входной величины) по заданной функции времени; определение комплексной передаточной функции цепи (частотных характеристик цепи); определение спектральной плотности выходной величины (реакции или отклика цепи); определение выходной величины в функции времени.

Ввиду необходимости выполнения сложных и громоздких вычислений даже в сравнительно простых случаях этот метод становится целесообразным в случае применения мощной вычислительной техники. Поэтому решение ряда задач выполнено с применением системы MathCAD.

ЗАДАЧА 7.76. Определить спектральную плотность следующих сигна-лов: а) f(t) = б) f(t) =

в)   f(t) =

Решение

а). Воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

F(jw) = = = е ^-jwt =

= (е^-jw·0,001 – е^+jw·0,001) = ·(-j2sin(0,001w)) = sin(0,001w).

б). Так как функция f(t) равна нулю при t < 0, то можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа. Разложим заданный прямоугольный импульс на две ступенчатые составляющие с амплитудами 5 и -5, причём вторая составляющая запаздывает на 10 мс. Их изображения (по Лапласу):

  и   - е ^-р·0,01.

Изображение заданного импульса F(р) =  – е ^-р·0,01 = (1 – е ^-р·0,01).

Спектральную плотность получим, если в ответе заменим р на jw:

F(jw) = (1 – е ^-jw·0,01).

в). Воспользуемся преобразованиями Лапласа, но выполним их с помощью системы MathCAD. Исходная функция, записанная одной формулой с помощью функции Хевисайда 1(t) = Ф(t):

f(t) := (100t² + 1)·(Ф(t) – Ф(t – 0,1)) + (-10t + 4)·(Ф(t – 0,1) – Ф(t – 0,5)).

Изображение функции:

f(t) ® + – 30.·  –

– 200.· + + + 10.·

или F(р) = (1 + е ^-0,1р + е ^-0,5р) + (-3е ^-0,1р + е ^-0,5р) + (1 – е ^-0,1р).

Искомая спектральная плотность

F(jw) = (1 + е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) + (-3е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) + (1 – е ^-0,1jw).

Графики функций и их спектры представлены на рис. 7.106.

ЗАДАЧА 7.77. Определить комплексную передаточную функцию, построить её АЧХ и ФЧХ для цепей рис. 7.107 при следующих числовых значениях: r₁ = 100 Ом, r₂ =200 Ом, С = 10 мкФ, L₁= 0,1 Гн, L₂= 0,02 Гн, М = 0,9 = 0,04 Гн. Под каждым рисунком указано, какая величина счи-

Решение

а). Примем  u₂ = 1. Тогда i₁ = u₂(r₂^-1+ jwС) = r₂^-1+ jwС;

u₁ = u₂ + r₁i₁ = 1 + r₁(r₂^-1+ jwС).

КПФ по напряжению

Н1(jw) = u₂/u₁ = = = .

Графики АЧХ   Н1(w) =|Н1(jw)|  и ФЧХ  Y1(w) = arg(Н1(jw)) представлены на рис. 7.108.

б). По правилу разброса тока в параллельные ветви i₂ = j .

КПФ по току Нi(jw) = i₂/j = = .

Графики АЧХ и ФЧХ функции Нi(jw) аналогичны графикам рис. 7.109.  

Если в качестве выходной величины выступает напряжение u₂, то комплексное передаточное сопротивление

Н2(jw) = u₂/j = jwL₁i₂/ j = =  Ом.

Графики АЧХ и ФЧХ функции Н2(jw)  представлены на рис. 7.109.

в). В этой схеме

i₂ = j и u₂ = ·i₂ = j .

Комплексное передаточное сопротивление

Н3(jw) = u₂/j = =  Ом.

Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 7.110.

г). Запишем систему уравнений относительно контурных токов i₁ и i₂:

(r₁+ r₂+ jwL₁+ jwL₂ + j2wM)i₁– (r₂+ jwL₂ + jwM)i₂ = U₁,

-(r₂+ jwL₂ + jwM)i₁ + (r₂+ jwL₂ + )i₂= 0.

Найдём способом подстановки:

i₁ = i₂ ,

i₂ = U₁.

Комплексная передаточная проводимость

Н4(jw) = =

= =

=  Cм.

Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 7.111.

ЗАДАЧА 7.78. Для указанных ниже цепи (берётся из задачи 7.76) и воздействия (из задачи 7.77) получить спектр и функцию времени выходной величины: 1) цепь а), воздействие а); 2) цепь б), воздействие б); 3) цепь в), воздействие б); 4) цепь в), воздействие в).

Решение

1. Цепь а) обеспечивает КПФ Н1(w) := , воздействие а) пред-ставлено спектром U1(w) := sin(0,001w) В·c. Тогда спектральная плотность выходного напряжения U2(w) := Н1(w)·U1(w), U2(w) =  В·c.

Оригинал напряжения (функция времени):

u2(t) := U2(w) ® -3.334·ехр(-1500.·t – 1.500)·Ф(1.·t + 1.000·10^-3) …

2. Цепь б) обеспечивает КПФ Н2(w) :=  Ом, воздействие б) представлено спектром   j(w) := (1 – е ^–jw·0,01) А·c. Тогда спектральная плот-ность выходного напряжения

U2(w) := Н2(w)·j(w),             U2(w) =  В·c.

Оригинал напряжения (функция времени):

u2(t) := U2(w) ® 500.2·ехр(-3000.·t)·Ф(1.·t) – 500.2·ехр(-3000.·t + …

3. Цепь в) обеспечивает КПФ Н3(w) :=  Ом, воздей-ствие б) представлено спектром  j(w) := (1 – е ^–jw·0,01) А·c. Тогда спектраль-ная плотность выходного напряжения

U2(w) := Н3(w)·j(w),             U2(w) =  В·c.

Спектр напряжения см. на рис. 7.114.

Оригинал напряжения (функция времени) с помощью функции invfourier не удаётся получить. Поступим другим образом. Применим формулу обратного преобразования Фурье, в которой вместо теоретических бесконечных пределов возьмём достаточно большие числа  ±60000:

Однако по этой формуле MathCAD не строит график (программа зависает). Сформируем массив из 201 значения функции с временным шагом 0,0001:

dt := 0.0001  q := 0 .. 200 T_q := q·dt   X_q := u2(T_q)

График зависимости X_q(T_q) представлен на рис. 7.114.

4. Цепь в) обеспечивает КПФ Н3(w) :=  Ом, воздей-ствие в) представлено спектром

j(w) := (1 + е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) + (-3е ^-0,1jw + е ^-0,5jw) + (1 – е ^-0,1jw) А·c.

Тогда спектральная плотность выходного напряжения

U2(w) := Н3(w)·j(w).

Спектр напряжения см. на рис. 7.115.

Сформируем массив из 401 значения функции с временным шагом 0,0015: dt := 0.0015  q := 0 .. 400 T_q := q·dt   X_q := u2(T_q)

График зависимости X_q(T_q) представлен на рис. 7.115

Вывод. Спектральный метод является перспективным, позволяет автоматизировать анализ переходных процессов в цепях. Однако его использование предполагает наличие достаточно мощной вычислительной техники. Система MathCAD поддерживает этот метод лишь при решении сравнительно простых задач (цепи не более второго порядка, воздействия, описываемые одной-двумя формулами).