РАСЧЁТ ПП МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

При подключении цепи к источнику единичного напряжения или тока реакция цепи (напряжение на любом участке или ток в любой ветви как функция времени) называется переходной функцией g(t). Если к пассивной цепи в момент t = 0 подключается источник с воздействием   f_И(t), являю-щимся непрерывной функцией времени, то реакцию цепи f(t) определяют интегралом Дюамеля по формуле

f(t) = f_И(0)·g(t) + .

Если функция воздействия имеет различные выражения на разных интервалах времени, то интервал интегрирования разбивается на отдельные участки, реакцию цепи рассчитывают для каждого интервала времени отдельно, причём на каждом интервале указанная выше конструкция интеграла Дюамеля применяется столько раз, каким по счёту является данный интервал. 

ЗАДАЧА7.71. На вход схемы рис. 7.97,а подано напряжение u_ВХ(t)  (рис. 7.97,б). Параметры схемы: r₁ = r₂ =10 кОм, С = 200 мкФ, U₀ =100 В, t₁ =1 с.

Решение

Рассчитаем переходную характеристику классическим методом. При подключении цепи рис. 7.97,а к источнику единичного напряжения имеем:

u_ВЫХпр = r₂ = 10/(10+10) = 0,5 В,    р = - = - = -1 с ^-1,

u_ВЫХ(0) = 0; u_ВЫХ(t) = u_ВЫХпр + (u_ВЫХ(0) – u_ВЫХпр)е ^рt = 0,5 – 0,5е ^–t В,

окончательно, g(t) = 0,5 – 0,5е ^–t.

Запишем напряжение u_ВХ(t) аналитически:

u_ВХ(t) =

Производная от напряжения:     u_ВХ ¢(t) =

Выходное напряжение на интервале 0 £ t £ t₁:

u_ВЫХ1(t) = u_ВХ1(0)·g(t) + = 0 + =

= 50t – 50 + 50е ^–t В.

Выходное напряжение на интервале t ³ t₁:

u_ВЫХ2(t) = u_ВХ1(0)·g(t) + +

+ (u_ВХ2(t₁) – u_ВХ1(t₁))g(t-t₁) + =

 = -100 + 50t + 50е ^–t + 50е ^–(t-1) = -100 + 50t + 68,4е ^–(t-1) В.

Таким образом, u_ВЫХ(t) =

В соответствии с последним выражением на рис. 7.98 построен график u_ВЫХ(t).

ЗАДАЧА 7.72. На вход цепи рис. 7.99,а подан импульс напряжения  u(t) = 400е ^-400t В  длительностью  t₁ = 2 мс  (рис. 7.99,б). Параметры цепи   r₁ = = r₂ = 100 Ом,   r₃ = 50 Ом,   L = 0,1 Гн.  Используя интеграл Дюамеля, рассчитать напряжение u_L(t) и построить его график.

Ответы: g(t) = 0,5е ^-1000t, на интервале 0 £ t £ t₁:

u_L(t) = u(0)·g(t) + = 333,3е ^-1000t – 133,3е ^-400t В,

на интервале t ³ t₁:

u_L(t) = u(0)·g(t) + + (-u(t₁))g(t-t₁) = -109,3е ^-1000t – 89,87е ^-1000t+2 В.

График u_L(t) построен на рис. 7.100.

Ответы:  g(t) = 25 – 12,5е ^-50t мСм,  u(t) =

на интервале 0 £ t £ t₁: i₂(t) = u₁(0)·g(t) = 25 – 12,5е ^-50t мА,

График i₂(t) построен на рис. 7.102.

ЗАДАЧА 7.74. В схеме рис. 7.103,а рассчитать ток в резисторе r₁. Параметры цепи:  r₁ = 50 Ом, r₂ = r₃ = 100 Ом, С = 200 мкФ.   Напряжение источника задано графиком рис. 7.103,б. Использовать интеграл Дюамеля.

Ответы: g(t) = 0,00667 + 0,00333×e ^–37,5t См,

i₁(t) =

График тока на рис. 7.103,в.

ЗАДАЧА 7.75. На рис. 7.104,а приведена схема колебательного звена системы автоматического регулирования с параметрами: r = 115 кОм,     L = = 3,7 мГн, С = 1,4 пФ. Определить напряжение на выходе u_ВЫХ(t) при воздей-ствии на входе прямоугольного импульса u(t) (рис. 7.104,б) с параметрами:

Комментарии и ответы.

Передаточная функция звена: Н(p) = = .

Изображение и оригинал переходной функции:

G(p) = Н(p) = = ;

g(t) = + 2Re =

= 1 + 2Re =

= 1 + 0,458e ^–btsin(w₀t).

Здесь  b = 3,106·10⁶ c ^-1, w₀ = 13,554·10⁶ рад/с.

Интегралы Дюамеля вычислим с помощью системы MathCAD.

t1 := 3.5·10 ^-6 t2 := 11.5·10 ^-6  b := 3.106·10⁶ w0 = 13.554·10⁶

g(t) := 1 + 0.458·e ^–b·t·sin(w0·t)

Напряжение источника u1(t) := 0 u2(t) := 90 u3(t) := 0

u(t) :=

Интервал 0 £ t £ t₁: uВЫХ1(t) := u1(0)·g(t) +

uВЫХ1(t)  ® 0

Интервал  t₁£ t £ t₂: j1(t) := u1(0)·g(t) +

uВЫХ2(t) := j1(t) + ((u2(t1) – u1(t1))·g(t-t1) +

uВЫХ2(t)  ® 90. – 41.22·e^{(-.3106e7)·t+10.87}·sin(.1355e8·t – 47.44)

или  u_ВЫХ2(t) = 90 – 41,22e ^-b(t-t1)·sin(w₀(t – t₁)).

Интервал t ³ t₂:  j2(t) := ((u2(t1) – u1(t1))·g(t-t1) +

uВЫХ3(t) := j1(t) + j2(t) + ((u3(t2) – u2(t2))·g(t-t2) +

uВЫХ3(t)  ® (-41.22)·e^{(-.3106e7)·t+10.87}·sin(.1355e8·t – 47.44) +

+ 41.22·e^{(-.3106e7)·t+35.72}·sin(.1355e8·t – 155.9)

или u_ВЫХ3(t) = -41,22e ^-b(t-t1)·sin(w₀(t – t₁)) + 41,22e ^-b(t-t2)·sin(w₀(t – t₂)).

Окончательно записываем: uВЫХ(t) :=

График напряжения u_ВЫХ(t) построен на рис. 7.105.