Производство с одним переменным фактором

В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фир­ма то расширяет, то сокращает производство. Если в кратко­срочном периоде невозможно изменить объем применяемых фак­торов (они являются фиксированными), то можно повысить ин­тенсивность использования последних, например, организовав _еде одну рабочую смену и т.д. Состояние и параметры фиксиро­ванных факторов в краткосрочном периоде определены предше­ствующими решениями фирмы. Если за короткий период объем ₀спользуемых ресурсов увеличивается или уменьшается, они становятся переменными. Как правило, в долговременном пери­оде все факторы производства являются переменными.

Главная задача анализа производственного выбора в кратко­срочном периоде — определить влияние изменений каждого от­дельного переменного фактора на объем выпуска продукции, то есть выявить его эффективность. Проанализируем ситуацию, ког­да объем капитала остается фиксированным, а затраты труда изменяются. Производственная функция показывает, что с увеличением переменного фактора растет и общий продукт Q.

Общий продуктQ — это количество произведенного продук­та, которое изменяется по мере увеличения использования пере­менного фактора.

Эффективность использования труда измеряется показателя­ми среднего AP_L и предельного MP_L продуктов труда.

Средний продукт трудаAP_L представляет объем продукции, приходящийся на единицу переменного фактора: АР'_L — Q/L. Если переменным фактором является капитал, а фиксированным труд, то средний продукт капитала АР_К = Q/K.

Допустим, затраты труда увеличились на AL. Тогда объем про­изводства увеличивается на AQ, а производственная функция при­нимает вид: Q + AQ = f(L + AL, К). Прирост производства опреде­ляется разностью: AQ = f(L + AL, К) - f(L, К). Рассмотрим отноше­ние приращения продукции к вызвавшему его приращению переменного фактора AQ/AL, которое называется предельным про­дуктом трудаMP_L, если AL бесконечно мало и стремится к —» О, то AQ стремится к бесконечно малому приращению:

где f'_L — представляет собой первую частную производную про­изводственной функции по переменному фактору L при фикси­рованном К. Аналогично: при фиксированном факторе труд и переменном факторе капитал предельный продукт капитала МР_К ⁼ f'_K. Необходимо помнить, что MP_L и МР_К представляют собой предельные продукты в натуральной форме. В частном случае AL или АК равны единице. Средний продукт является средней производительностью, а предельный — предельной производи­тельностью соответствующего фактора производства.

Предельный продукт труда зависит также от объема используе мого фиксированного фактора, в данном случае капитала, вели чина которого может быть различной. Сказанное применимо и к предельному продукту капитала.

Рассмотрим взаимосвязь общего, среднего и предельного про­дуктов. Пусть фиксированным фактором является капитал, а труд — переменным. Построим кривую общего продукта Q (рис. 19, а) Для производства продукции необходимы все факторы, посколь­ку если L = О, то и Q = 0. Далее постепенно увеличиваем количе­ство переменного фактора L, вовлекая первую, вторую и т.д. единицы труда, считая, что увеличение выпуска обеспечивается пе­ременным фактором, хотя это не совсем так.

На рисунке (19, а) изображена кривая общего продукта, на которой отмечены три точки: А — вспомогательная точка, В — точка перегиба, С — точка, касательная к которой совпадает с линией, соединяющей данную точку с началом координат, D — точка максимального значения Q.

На рисунке (19, б) показана взаимосвязь среднего продукта труда AP_L и предельного продукта труда MP_L.

Объем производства до точки В увеличивается ускоряющимся темпом, так как он растет быстрее переменного фактора потому, что на каждого работника или на единицу труда приходится в сравнении с последующими периодами больший объем капита­ла. После точки В темп роста общего продукта замедляется, до­стигает максимума в точке D и затем начинает снижаться (рис. 19, а).

Три отрезка кривой общего продукта отражаются в кривой предельной производительности (рис. 19, б). Предельная произво­дительность представляет приращение продукта, получаемое от использования каждой добавочной единицы переменного фактора.

Отношение AM/LM = tg(3 = f'_L, (f_L — угловой коэффициент касательной к кривой выпуска в точке А) представляет предель­ный продукт, предельную производительность труда:

MP_L = tg(3 = AM/LM - f'_L.

На отрезке ОВ предельный продукт растет потому, что по мере вовлечения в производство дополнительных работников все бо­лее полно используются производственные мощности предпри­ятия. На отрезке BD рост числа занятых ведет к росту общего продукта (рис. 19, а), но снижает величину предельного продук­та (рис. 19, б). Здесь соотношение между трудом и капиталом становится таким, что каждый последующий, дополнительный

Работник обеспечивает меньший прирост общего объема произ­водства, чем его предшественник. В точке D выпуск достигает Максимального значения (рис. 19, а), а приращение продукта (предельный продукт MP_L) становится равным нулю (рис. 19, б). Когда общий продукт начинает снижаться, предельная произво­дительность становится отрицательной. Последнее означает, что возникает избыток переменного фактора относительно количе­ства используемого постоянного фактора.

Динамика средней производительности также отражает зависи­мость между переменными вложениями труда и объемом произ­водства. В точке А отношение общего продукта AM к затрачен­ному переменному фактору ОМ равно AM/ОМ = tg a и измеряет средний продукт труда: АР — tg a = AM/ОМ.

Как видно на рис. 19, б, на отрезке ОС средний продукт растет, на отрезке CD — снижается. В точке С (точка пересечения средне­го и предельного продуктов) устанавливается равенство tg a = tg p и, следовательно, здесь средний и предельный продукты равны. Учитывая связь общего, предельного и среднего продуктов, точки В, С и D называют критическими.

Поясним, почему на отрезке ОВ кривой общего продукта пре­дельная производительность растет быстрее, чем средняя. На­помним, что предельная производительность растет только на указанном отрезке, так как использование дополнительных ра­ботников обеспечивает все более полное использование имеющих­ся мощностей. Средняя производительность по мере вовлечения в производство дополнительных работников изменяется следую­щим образом. Пока к средней добавляется предельная, превы­шающая предыдущие значения средней производительности, — средняя увеличивается. Если к средней добавляется предельная величина, которая является меньше любого предыдущего значе­ния средней, — средняя уменьшается.

За изменением предельной производительности фактора труд можно проследить по угловому коэффициенту касательных (на­клону кривой) к кривой общего продукта. До точки В он увеличивается, после точки В уменьшается. В точке D наклон каса­тельной к кривой выпуска (угловой коэффициент tgn = 0) равен нулю и MP_L — 0. За точкой D наклон кривой становится отрица­тельным. Таким образом, на кривой общего продукта имеется один отрезок (вогнутостью вверх до точки В), где затраты пер­вых частей переменного фактора приводят к более быстрому уве­личению выпуска продукции и растущей производительности. На другом отрезке (вогнутостью вниз от точки В и далее) имеет место убывающая производительность. Эта закономерность известна в экономической теории как закон убывающей произво­дительности. Суть его в том, что когда в производстве использу­ется переменный фактор, то при неизменном состояния техники быстро достигается точка, в которой предельная произво­дительность становится убывающей.

В математической форме падение предельной производительноти выражается следующим образом. Производственная функция ULft) является возрастающей по отношению L и К, то есть с воз­растанием переменного фактора на AL (или на АК) объем Q увели­чивается. В соответствии со свойством аддитивности имеем:

f(L + AL, K)> f(L, К) + /(AL, 0) или

f(L + AL, К) - f(L, К) > 0, так как /(AL, 0) = 0.

При ∆L→0, f'_L  0. Аналогично: f_K  0. Производные f'_L и f'_K представляют собой предельную производительность труда и капи­тала, то есть дополнительную продукцию, получаемую в резуль­тате использования дополнительной единицы одного из факто­ров производства. Производственная функция Q = f(L, К) имеет убывающие предельные производительности, что выражается дос­таточным условием:

Частные производные f'_L и f'_K рассматриваются как функции. Они убывают, если f < 0, f'_g2 < 0 , то есть вторые частные произ­водные отрицательны. Если f'’ > 0, f_z > 0, то функции f_L и f'_K возрастают. Выполнение названных условий ниже покажем на примере функции Кобба-Дугласа.

Границы действия закона убывающей предельной производи­тельности может изменить технический прогресс. Допустим, имеются три различных технических уровня производства. Каждому соответствует кривая общего продукта (рис. 20).

Технический прогресс обеспечивает производство все больше­го общего продукта, возрастающую предельную производительность до точек В₁, В₂, В₃ (точки перегиба), после чего начинается убывание предельной производительности.