Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j ) составит

= n /2.

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j ) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n /2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = a_n, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j ) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

D(j )= a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n) = a₀(j )ⁿ+ a₁(j )^{n - 1} + ... + a_n = ReD(j ) + jImD(j ),

где

ReD(j ) = a_n - a_{n - 2} ² + a_{n- 4} ⁴ - ...,

ImD(j ) = a_{n - 1} - a_{n - 3} ³ + a_{n- 5} ⁵ - ....

Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.