Линеаризация уравнения динамики

В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики. Рассмотрим сначала геометрическое обоснование линеаризации.

В нормально функционирующей САУ значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами, входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального режима А"В". Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях записываются не абсолютные значения величин y,u,f, а их отклонения от номинальных значений: y = y - y_н, u = u - u_н, f = f - f_н. Это позволяет получить нулевые начальные условия, если считать, что при t 0 система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя.

Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой - либо функции f(x) в любой точке x = a, а также значения производных от этой функции в данной точкеf’(a), f”(a), ..., f⁽ⁿ⁾(a), то в любой другой достаточно близкой точке x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора:

Аналогично можно разложить и функцию нескольких переменных. Для простоты возьмем упрощенный, но наиболее характерный вариант уравнения динамики САУ: F(y,y',y",u,u') = f. Здесь производные по времени u',y',y" также являются переменными. В точке, близкой к номинальному режиму: f = f_н + fи F = F_н + F. Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности точки номинального режима, отбрасывая члены ряда высоких порядков малости:

.

В номинальном режиме, когда все отклонения и их производные по времени равны нулю, получаем частное решение уравнения: F_н = f_н. Учитывая это и вводя обозначения получим:

a_o y” + a₁ y’ + a₂ y = b_o u’ + b₁ u + c_o f.

Отбрасывая все знаки , получим:

a_oy” + a₁y’ + a₂y = b_ou’ + b₁u + c_of.

Отбрасывая все знаки , получим:

В более общем случае:

a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_{n - 1}y’ + a_ny = b_ou^(m) + ... + b_m - 1u’ + b_mu + c_of.

При этом всегда нужно помнить, что в данном уравнении используются не абсолютные значения величин y, u, fих производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений. Поэтому полученное уравнение будем называть уравнением в отклонениях.

К линеаризованной САУ можно применить принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.27). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:

a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_{n - 1}y’ + a_ny = b_ou^(m) + ... + b_m - 1u’ + b_mu.

Это уравнение описывает САУ в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п.

Обычно n m, так как при n < m САУ технически нереализуемы.

Передаточная функция

В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператораp = d/dt так, что, dy/dt = py, а pⁿ = dⁿ/dtⁿ. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

a_op⁽ⁿ⁾y + a₁p^(n-1)y + ... + a_ny = (a_op⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) + ... + a_n)y = (b_op^(m) + b₁p^(m-1) + ... + bm)u

Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t) (оригиналы), а не их изображенияY(p), U(p), получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть py yp. Его можно выносить за скобки и т.п.

Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/u(t), поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления. В установившемся режиме d/dt = 0, то есть p = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b_m/a_n.

Знаменатель передаточной функции D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n называют характеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.

Числитель K(p) = b_op^m + b₁p^{m - 1}+ ... + b_m называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция W_и(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной.