Задание параметров сетки конечных элементов

Сетку конечных элементов, в принципе, можно построить и в «ручном» режиме, указывая координаты узлов. Но чаще всего создание сетки конечных элементов происходит в автоматическом режиме, как правило, на базе геометрии детали.

Параметры сетки конечных элементов существенно влияет на точность и время выполнения конечно-элементного расчета. Важнейшими из них являются размер и форма конечного элемента.

Идеальная форма плоского элемента – равносторонний треугольник или квадрат, объемного элемента – равносторонняя пирамида или куб и т.д. Чем меньше разница между длиной сторон конечного элемента, тем меньше погрешность расчета, обусловленная самой математикой метода конечных элементов. Элементы, слишком вытянутые в одном направлении, могут негативно влиять на устойчивость проведения расчета и, опосредовано, на его точность. В универсальных пакетах существуют как средства контроля формы при построении сетки конечных элементов, так и возможность редактирования формы отдельных элементов.

Как правило, чем мельче сетка (меньше размеры конечных элементов), тем выше точность расчета. Но, если модель разбита на слишком большее число конечных элементов, то резко возрастает время расчета, а в ряде случаев (на недостаточно мощных машинах) расчет вообще становится практически невозможным. Поэтому перед разбиением геометрической модели на конечные элементы задают средний размер элемента и указывают, где необходимо сгущение или наоборот, допустимо разрежение сетки конечных элементов.

Остановимся подробней на причинах необходимости редактирования параметров сетки. При моделировании методом конечных элементов фактическая зависимость искомой функции Y от параметра X (например, значения напряжений в балке Y в зависимости от текущей координаты X) заменяется (аппроксимируется) набором отрезков. Значения расчетной функции на концах отрезков равны фактическому значению функции в этих точках. Принимается, что внутри элемента значение функции изменяется линейно.

Например, на рисунке 4.2.9 толстая линия – фактическое значение функции, а отрезки, выполненные штриховой линией – результат ее аппроксимации при выполнении расчета методом конечных элементов. Вертикальные тонкие линии показывают границы конечных элементов. Расстояние между отрезками и линией искомой функции характеризует погрешность расчета.

Если функция Y изменяется медленно и плавно (рисунок 4.2.9, а), то допустимо задавать относительно большие размеры конечных элементов. В результате даже при больших размерах конечных элементов погрешность будет невысока.

Но если функция Y имеет области, где она резко изменяется (как на рисунке 4.2.9, б-г), то результат МКЭ-расчета при аппроксимации крупными элементами может даже качественно не соответствовать реальности. Пример такой ошибки иллюстрирует рисунок 4.2.9, б.  Результат расчета (штриховая линия) в центре диаграммы даже близко не соответствует фактическому значению искомой функции.

а)	б)
в)	г)

Рисунок 4.2.9 – Варианты разбиения на конечные элементы

Казалось бы, существует очевидно решение – уменьшить размеры конечных элементов, как показано на рисунке 4.2.9, в. Но в результате такой модернизации резко увеличится общее число конечных элементов и, соответственно, время расчета и потребные вычислительные ресурсы.

Оптимальным является вариант разбиения, показанный на рисунке 4.2.9, в. Там, где скорость изменения функции невелика, размеры конечных элементов оставляют большими. Размеры конечных элементов уменьшают только на тех участках, где функция резко изменяется. При таком подходе удается добиться того, что результаты расчета незначительно отличаются от фактических значений на всех участках изменения функции. Такую операцию еще называют сгущением сетки конечных элементов.

Сгущение сетки желательно выполнять в тех местах модели, где предполагаются резкое изменение напряжений (или, в общем случае, исследуемых параметров) по длине детали. Например, это могут быть элементы конструкции с резкими переходами в поперечных сечениях, связанными с наличием отверстий, канавок, надрезов и т.д. (т.н. концентраторы напряжений). Соответственно, менее густую сетку допустимо выполнять на участках, где напряжения меняются медленно. Кроме того, обычно сетку сгущают в окрестностях точек приложения нагрузок и закреплений, в зонах контакта тел, а также в зоне предполагаемого выпучивания при расчетах на устойчивость и собственные частоты.

Для управления густотой сеткой, которая строится на основе геометрии детали, в универсальных пакетах существуют специальные средства, что является одной из важных их особенностей, позволяющее, не теряя в точности, в десятки и сотни раз сократить время расчета сложной модели.

Безусловно, правильный выбор размеров конечных элементов требует определенного опыта, как в предметной области, так и в области конечно-элементных расчетов. Тем не менее, существуют стандартные приемы решения этой задачи. Например, часто первый расчет проводят на крупной сетке конечных элементов. Затем, на основании анализа картины распределения напряжений, намечают области, где необходимо сгустить сетку. Далее проводят несколько последовательных расчетов при постепенно уменьшающихся размерах элементов. Если после очередного уменьшения размеров элементов результаты расчета перестают заметно изменяться, то считается, что дальнейшее уменьшение размеров конечных элементов уже нецелесообразно с точки зрения повышения точности.