Правила зменшення впливу систематичних похибок на              результат вимірювань.

4. Вибір методів вимірювання, що дозволяють зменшити вплив систематичних похибок.

Наприклад, застосування методу заміщення при вимірюванні опору резистора мостом постійного струму дозволяє уникнути знач­ної частини систематичних похибок. Спочатку, підключивши до вимі­рювального моста досліджуваний резистор, урівноважуємо міст.

 Потім, замість згаданого резистора, підключаємо регульовану міру опо­ру. Не змінюючи положення органів регулювання моста, урівноважу­ємо його, на цей раз зміною регульованої міри опору.

Її опір в момент рівноваги відповідає значенню опору досліджуваного рези­стора.

Похибка вимірювання при цьому залежить від похибки міри (як правило, дуже малої) та випадкової похибки моста. Постійні систематичні похибки при цьому вилучаються.

5.Метод компенсації похибки за знаком дозволяє вилучити відомі за причинами, але невідомі за розміром систематичні похибки від причин спрямованої дії.

  Наприклад, відомо, що в місці розташування вимірювального приладу  присутнє постійне магнітне поле, що впливає на його покази.

 Для вилучення систематичної похибки від цього впливу кожне вимі­рювання цим приладом виконуємо двічі, змінюючи його орієнтацію у просторі на  180°. При цьому, один раз покази приладу під дією по­стійного поля збільшуються, а другий – на стільки ж зменшуються. За результат вимірювання приймають середнє арифметичне цих двох показів приладу.

 Метод симетричних спостережень (рис.11) - може бути застосо­ваний для вилучення систематичних похибок, що лінійно змінюються.

Наприклад, виконуємо непряме вимірювання опору резистора R_х, підключивши його послідовно з мірою опору R₀ до джерела живлення та вимірюючи вольтметром падіння напруги на цих резисторах U_х та U₀.

Якщо струм і залишається незмінним, то це дуже просто. Дійсно:

і= ;  звідки R_x=R₀ .

Рис.11 Метод симетричних спостережень

Ускладнимо задачу тим, що струм i  , а лінійно зменшується з часом, наприклад, внаслідок зменшення ЕРС розрядженої батареї живлення.

 Для вилучення систематичної похибки, що виникає при цьому, виконуємо не два вимірювання, як раніше, а хоча б три. Перший раз вимірюємо падіння напруги U₀₁ від струмуiна мірі опору(резисторі R₀ ):

U₀₁ = iR₀

Потім, через однакові проміжки часу вимірюємо падіння напруги U_x на резисторі R_х від зменшеного вже на D i₁, струму:

                          U_x= (i-Di₁)R_x,

а потім знову напругу U₀₂ - від зменшеного вже на Di₂ струму:

U₀₂= ( i-Di₂ )R_0.

Якщо струм змінюється з часом лінійно, то

                                           Di₁= D.i₂

Тоді                                  i -D i ₁= ,

                                          U_x= .

Звідси                                R_x= .

 Метод періодичних спостережень застосовують тоді, коли сис­тематична похибка змінюється за періодичним законом. Для вилучен­ня похибки виконують два спостереження через половину періоду в моменти, коли ця похибка має однакові значення протилежного знаку. В результаті усереднення даних цих спостережень систематична по­хибка вилучається.

Метод взірцевих сигналів часто вживають для автоматичної корекції показів сучасних автоматизованих вимірювальних приладів та систем. При цьому періодично на вимірювальний вхід,замість не­відомої величини, підключають міру, розмір якої точно відомий. Різ-ницю між розміром міри та показoм приладу використовують як поп­равку.

Метод допоміжних вимірювань може застосовуватись для вилу­чення систематичних похибок від відомих впливових величин. Якщо відома залежність систематичної похибки, наприклад, від температу­ри, вологості, напруги живлення та інших впливових величин, то можна, вимірявши ці величини допоміжними засобами вимірювань, обчислити похибку та ввести поправку в результат.

Можуть бути запропоновані ще деякі, менш поширені способи вилучення систематичних похибок. Але, на жаль, майже при всіх ви­мірюваннях повністю уникнути впливу систематичних похибок не вда­ється, внаслідок чого в їх результатах завжди залишається деяка частина невилученої систематичної похибки.

Ефективність заходів з вилучення систематичних похибок із результатів вимірювань характеризується так званою правильністю вимірювань.

Правильність вимірювань - це якість вимірювань, що відображує близкість до нуля систематичних похибок у їх результатах.

Запитання для самоперевірки

І. В чому полягає умовність поділу похибок на випадкові та систематичні?

2. Які приклади методичних похибок ви можете навести? Чому вони вважаються типово систематичними?

3.Які приклади випадкових і які систематичних складових частин інструментальних похибок ви можете навести?

4. Які приклади уникнення систематичних похибок ліквідацією їх причин ви можете навести? Звідки брати поправки?

5. Як можна уникати систематичних похибок заміною ЗВТ?

6.Які приклади застосування методу заміщення для усунення систематичних похибок з електричних та неелектричних вимірювань ви мoжете навести?

7. У чому полягає метод компенсації похибок за знаком та для усунення яких похибок він придатний ?

8. У чому полягає метод симетричних спостережень та для усу­нення яких похибок він придатний ?

9. У чому полягає метод періодичних спостережень та для усу­нення яких похибок він придатний ?

10. У чому полягає та як реалізується метод взірцевих сигна­лів?      

11. Як застосовувати для зменшення впливу систематичних похибок метод допоміжних вимірювань?

                                                           8. ВИПАДКОВЫ ПОХИБКИ ТА ОЦІНКА ЇХ ВПЛИВУ НА РЕЗУЛЬТАТ ВИМІРЮВАННЯ

В той час, як систематичні похибки теоретично (а у більшості випадків, значною мірою, і практично) можна вилучити з результатів вимірювань, то випадкових похибок уникнути дослідним шляхом НЕМОЖЛИВО.

Але потрібно, використовуючи статистичний матеріал багаторазових спостережень досліджуваної ФВ, уміти оці­нювати в кожному випадку вплив випадкових похибок на результат вимірювань. Для цього застосовують математичний апарат теорії ймовірностей.

У найпростішому випадку маємо наступну задачу з оцінки впли­ву випадкових похибок.

Виконавши nрівноцінних спостережень однієї і тієї ж фізичної ве­личини, маємо ряд результатів:

                         X₁, X_2, X_3,…,X_n,

де X _i - результат i-го спостереження; n- число спостережень ряду.

Систематичні похибки вилучені, тобто ці вимірювання правиль­ні. Оцінити вплив випадкових похибок на результат вимірювань.

Найдостовірнішим значенням із наведеного ряду є середньоариф­метичне :

=

Випадкова похибка    кожного i-го спостереження:

_i  =X_i - X_icт,

де Х_іст- істинне значення досліджуваної ФВ.

                    Так як Х_іст недосяжне, то й поняття випадкової похибки має лише теоретичне, а не практичне значення. На практиці замість нього користуються залишковою похибкою  і -го вимірювання n_і :

     При необмежено великому числі спостережень середньоарифметичне прямує до істинного значення, а залишкова похибка - до випадкової.

Для контролю правильності підрахунків слід пам^’ ятати також, що алгебраїчна сума залишкових похибок наближається до нуля:

Яким критерієм характеризувати та порівнювати між собою точність різних рядів спостережень?

Найуживанішим є середньо-квадратичне відхилення s. Це параметр функції розподілу результатів спостережень, який характеризує їх розсіювання. Він визначається як позитивнее значення квадратного кореня з дисперсії результатів спостережень та має ту ж саму розмірність, що й вимірювана величина. Дисперсія менш зручний параметр, бо її розмірність – квадрат вимірюваної величини.

Порівняємо між собою дві мішені (Рис.12) з результатами стрільби з двох рушниць (аналогія з двома рядами вимірювань однієї і тієї ж ФВ різними приладами; причому, аналогія похибки вимірювання - відхилення точки влучення від центру мішені).

            Рис.12.Порівняння результатів стрільби з двох рушниць.

Для лівої мішені характерне скупчення попадань, хоча зрідка попадаються і помітні відхилення. Права мішень характерна більш рівномірним “розсіюванням” попадань.

Порівнюючи між собою ці мішені,досвідчений стілець одразу скаже, що рушниця, з якої стріляли в ліву мішень краща.

Важче зробити таку оцінку, маючи перед собою лише два ряди чисел без такого наочного зображення. Але, обчисливши для кожного з цих рядів середньоквадратичні відхилення, побачимо, що для лівої мішені воно значно менше, ніж для правої:

                            s_л<s_п       

Для обчислення середньоквадратичного відхилення (СКВ) треба знати закон розподілу випадкових похибок. Цей закон пов`язує значення випадкової похибки з імовірністю її появи.

Одним із найпоширеніших у практиці вимірювань є нормальний закон розподілу випадкових похибок, так званий закон Гаусса (рис. 13).

Рис.13. Нормальний закон розподілу випадкових похибок

По осі ординат відкладено щільність імовірності випадкової похибки, по осі абсцис – сама випадкова похибка.

Тут зображені дві криві, що характеризують два ряди спостережень із різними СКВ - s₁ та s₂. Крива з СКВ s₁ може характеризувати результати стрільби у ліву мішень ( рис. 12 ), а s₂ -у праву, причому обидві криві характеризують закон Гаусса, що грунтується на двох аксіомах.

 1. Аксіома випадковості: при дуже великій кільколькості спостережень випадкові похибки однакові за розміром, але протилежного знаку, зустрічаються однаково часто.

 2. Аксіома розподілу:найчастіше з’являються малі похибки, а великі зустрічаються тим рідше, чим вони більші за розміром (абсолютним).Розглядаючи графіки, можна наочно впевнитись у справедливості цих аксіом.

      Дійсно, аксіома випадковості підтверджується симетричним відносно осі ординат розташуванням кривих. Праворуч – позитивні випадкові похибки, ліворуч – негативні.

Аксіома розподілу підтверджується тим, що найбільша ймовірність появи ( найвища ордината )нульової та близьких до неї малих похибок. В той же час великі за розміром , як позитивні, так і негативні похибки мають малі ординати кривих, тобто малу імовірність появи.

Графік s₁ характерний тим, що більша частина обмеженої

ним площі зосереджена в зоні малих похибок, а графік із s₂ відрізняється більш рівномірним розподілом (розсіюванням) похибок : тут не набагато відрізняється імовірність появи малих похибок від великих.

Коли випадкові похибки розподілені за нормальним законом, 95% їх попадають у межі значень ±2σ, 99,73% - у межі значень ±3σ..

Ці межі, між якими з відомою імовірністю зосереджені випадкові похибки називають довірчим интервалом, а імовірність – довірчою. Наприклад, за нормального закону розподілу похибок довірчому інтервалу від +3σ до -3σ відповідає довірча імовірність Р= 0,9973.

Похибки, модуль яких більший за 3σ трапляються дуже рідко ( не частіше, як 27 разів на 10000 вимірювань), тож їх прийнято називати надмірними, і, як правило, відкидати з ряду результатів спостережень.

Середньоквадратичне відхмлення s можна приблизно визначити за формулою Бесселя :

Для поліпшення точності вимірювання, тобто зменшення σ, очевидно, необхідно збільшувати кількість спостережень. Теорія показує, якщо кожне число вищенаведеного ряду вважати середнім арифметичним із n спостережень, то оцінка σ̃ його СКВ зменшиться у  разів:

Звідси видно надійний, хоч і трудомісткий спосіб підвищення точності вимірювань: щоб підвищити точність вимірювання в n разів треба збільшити число спостережень у n²   разів.

8.1. Апроксимації законів розподілу випадкових похибок.

 Кожний ряд спостережень має свій особливий, притаманний тільки йому закон розподілу похибок. Але для певних груп ЗВТ, умов проведення вимірювань, об`єктів і т. ін. можна виділити та узагальнити схожі закони розподілу похибок. Їх називають апроксимаціями, тобто наближеннями до реальних законів.

 Найрозповсюдженіші в практиці вимірювань апроксимації законів розподілу похибок подані на рис.14.

g

Для кожної апроксімації наведено назву ,графік та коефіцієнт g де а – напівширина довірчого інтервалу при довірчій імовірності, Р=0,9973; σце середньоквадратичне відхил-енння(СКВ).

          Рис.14. Апроксимації законів розподілу похибок

Апроксимацією нормального закону розподілу похибок є так званий зрізаний нормальний закон, який зрізаний (обмежений) межами довірчого інтервалу ±3σ. Як було розглянуто вище, у цих межах міститься 99,73 % похибок, тому залишком у 0,27%, що виходить за ці межі, просто нехтують. Цей закон дуже розповсюджений, він має місце тоді, коли на результат вимірювання впливають багато взаємонезалежних причин.

Коли закон розподілу випадкових похибок ряду спостережень невідомий, то найчастіше приймають саме цю апроксимацію. При цьому обчислений довірчий інтервал вийде найбільшим порівняно з іншими апроксимаціями (тут коефіцієнтg =3), і можна бути певним, що реальні похибки на практиці не перевищать обчислені.

Цікаві особливості має рівномірний закон. Саме за ним озподіляються похибки стрілкових приладів, які виявляють під час їх повірки. Межі допустимих абсолютних похибок, що визначаються класом точності стрілкового приладу, є абсцисами різкого спаду його графіка.

Наприклад, для вольтметра межі вимірювання 500 В класу точності 4,0 допустима абсолютна похибка (див.раніше) =±20В (тобто 4% від 500 В). Ці значення (±20 В) і є абсцисами спаду графіка розподілу похибок.Таким чином, для цього приладу з однаковою імовірністю можливі будь-які абсолютні похибки від –20В до +20В.  

На перший погляд, виникає сумнів щодо реальності, природності цього закону. Невже можливі з однаковою імовірністю нульова похибка, і похибки до ±20 В? А похибка, трохи більша, наприклад, 21 В, абсолютно неможлива (за графіком імовірність у похибок , більших за розміром від ±20 В нульова)?

Звичайно, це не природне явище, а просто свавілля людини, яка законодавчо, нормативно, обмежила допустимі похибки для даного класу точності саме цими різкими межами. Прилад, у якого при повірці виявлена похибка, вища за допустиму, повинен бракуватись, не допускатись до подальшої експлуатації.

Ще менш природними, але характерними саме для людської діяльності, є антимодальні закони, в яких неможливоа нульова похибка.

Так може розподілятись похибка, що її допускає робітник-настроювач на конвейері. Йому подаються вироби з більшим чи меншим відхиленням регульованого параметру від потрібного значення. Задача - “ вігнати” регульований параметр у нормований, контрольований відділом технічного контролю “допуск”. Наприклад, вимагають, щоб цей параметр дорівнював (100± 5) одиниць. Відрегулювавши у виробу з меншим значенням параметру його розмір до 95, а у виробу з більшим значенням регульованого параметру – до 105 одиниць, робітник припиняє роботу (нема часу доводити значення точно до 100 одиниць) і переходить до наступного виробу). Внаслідок цього вироби із значенням відрегульованого параметру точно 100 одиниць, тобто з нульовою похибкою, майже не зустрічаються.

Дуже характерним є закон Релея. Якщо всі попередньо розглянуті закони відповідають аксіомі випадковості (тобто мають однакову ймовірність позитивних та негативних похибок такого ж розміру), то цей закон показує можливість тільки позитивних похибок ряду спостережень. Такими можуть бути похибки “биття” валу при обертанні внаслідок його ексцентричності або зігнутості.

На практиці, щоб віднести закон розподілу випадкових похибок до певної апроксимації, треба виконати багато десятків, а то і сотень

cпостережень та побудувати на основі їх результатів так звану гістограму (рис. 15).

Рис. 15. Гістограма: Xmin, Xmax – найменший та найбільший результати із ряду спостережень, відповідно; n – кількість результатів із ряду спостережень, які попадають у відповідний інтервал значень вимірюваної величини

Для цього по осі абсцис відкладають випадкові похибки окремих спостережень (або ж їх результати) та розділяють їх на групи за розміром. По осі ординат відкладають кількість похибок (або результатів ) із ряду спостережень, що попали у відповідну групу. Далі будують прямокутники, основами яких є інтервали від найменшої до найбільшої похибки (або результату) в групі, а висотами – кількість похибок (або результатів), що попали в цю групу (рис. 15.). При достатній кількості таких прямокутників можна орієнтуватися у законі розподілу похибок, хоча б на рівні “випуклий” чи “вігнутий”.