Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A'B'. Его первый катет A'B' – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A'A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A'A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A'B'. Затем проводим гипотенузу A₀B' треугольника A₀A'B'. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Точка на прямой

Если точка лежит на прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях прямой. Точка С лежит на прямой АВ, а точка D – не лежит на этой прямой (рис.21).

рис.21

Следом прямой называют точку пересечения прямой с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекается со всеми тремя плоскостями проекций и имеет три следа. Прямая, параллельная одной плоскости проекций, имеет два следа. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая), имеет один след. М - горизонтальный след, N –фронтальный след. Там, где отрезок АВ пересекается с горизонтальной плоскостью проекций, получаем горизонтальный след М. Фронтальный след N получаем при пересечении отрезка АВ с фронтальной плоскостью проекции. Профильный след рассматривать в задачах не будем (рис. 29).

Рис.29

След прямой - это точка, лежащая на плоскости проекций и самой прямой одновременно. Если точка лежит на плоскости, то одна ее проекция совпадает с самой точкой, а вторая обязательно лежит на оси х.

Для построения следов прямой АВ на эпюре поступают следующим образом: продолжают А''В" до пересечения с осью х и отмечают фронтальную проекцию М", из М" восстанавливают перпендикуляр до пересечения с А'В' или ее продолжением. Получаем горизонтальный след М' и сам след М.

Прямые линии в пространстве могут занимать различные положения: они могут быть взаимно параллельны, пересекаться и быть скрещивающимися.

5.4.1 Параллельные прямые.

Согласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции двух параллельных прямых линий параллельны, находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков и являются проекциями одного направления. Т.е. проекции прямых параллельны между собой или совпадают. Для определения по проекциям прямых их взаимного положения в пространстве для прямых общего положения достаточно двух проекций этих прямых.

5.4.2. Пересекающиеся прямые.

Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися

Согласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции этих прямых пересекаются и точки их пересечения являются проекциям одной точки пространства, т.е. принадлежат одной линии связи (рис. 5.12). Угол между пересекающимися прямыми общего положения не проецируется в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций.

5.4.3. Скрещивающиеся прямые.

Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи, т.е. каждая из точек пересечения проекций прямых является проекцией двух точек пространства, они лежат на одном проецирующем луче. Такие точки называются конкурирующими.

· О проекциях плоских углов

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

2.Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла.

3.Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций.

4.Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой ² ).

Плоскость общего положения образуется при движении прямой a по направляющим прямым m и n, когда они пересекаются или параллельны.

Поэтому, чтобы задать плоскость общего положения на эпюре Монжа достаточно указать проекции трех различных точек, не принадлежащих одной прямой

Положение плоскости может быть задано:

1. тремя точками2. прямой и не принадлежащей ей точкой3. двумя пересекающимися прямыми4. двумя параллельными прямыми5. треугольником

Следы плоскости, это линии пересечения плоскости с плоскостями проекций

Плоскость общего положения имеет три следа: на горизонтальной, на фронтальной и на профильной плоскости проекций. Два любых следа плоскости однозначно определяют ее в заданной системе проектирования. По заданным двум следам плоскости может быть построен третий след.

Плоскости, перпендикулярные к одной или сразу к двум плоскостям проекций, называются плоскостями частного положения

Проецирующие плоскости-плоскости, перпендикулярные какой-либо из плоскостей проекций (проекция плоскости на перпендикулярную плоскость проекции – прямая – вырожденная проекция, углы наклона вырожденной проекции к осям равны натуральным углам наклона плоскости к плоскостям проекции)

· Горизонтально-проецирующая

· Фронтально-проецирующая

· Профильно-проецирующая

12. Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи. Примеры построения точки на плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если она: · проходит через две точки, принадлежащие плоскости,проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, принадлежащей плоскости, проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости

13. Взаимное положение прямой линии и плоскости.Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость и быть параллельной плоскости.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положенияЕсли заданная плоскость перпендикулярна к какой-либоплоскости проекций (рис.33, а), то она проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, на которой обязательно будут находиться соответствующие проекции всех точек, принадлежащих данной плоскости, в том числе и проекции точки пересечениякакой-топрямой с заданной плоскостью (точка встречи прямой с плоскостью). Поэтому точка встречи прямой с плоскостью частного положения находится па эпюре без дополнительных построенийПрямая перпендикулярна плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.