Математические модели отказов

1. математические модели внезапных отказов

Математической моделью внезапных отказов является экспоненциальное распределение.

Интегрированная функция распределения:

Модель однопараметрическая

Вероятность отказа:

Вероятность безотказной работы:

Частота отказов:

Интенсивность отказов:

Средняя наработка:

Характерной особенностью экспоненциальной функции является независимость интенсивности отказа от времени.

Если время жизни устройства исчисляется не временем, а числом срабатываний, то используется геометрическое распределение:

к - число срабатываний

q - вероятность отказа при каждом срабатывании

(т.к. q<<1)

Математические модели постепенных отказов

Используется –распределение – двухпараметрическое распределение.

Параметры: d, k

Если d будет скорость накопления отказов, то k – число нарушений, при которых наступает отказ.

d определяет масштаб, а k - форму кривых

Интегрированная функция -распределения:

Универсальная модель отказов (распределение Вейбулла)

Двухпараметрическая

Г – функция Эйлера

Универсальная, т.к. можно описать весь жизненный цикл системы

Суперпозиция распределения

Пусть имеется сложный объект. Частоту отказов на разных этапах функционирования можно описать разными распределениями.

В общем виде плотность распределения комбинированного закона или суперпозиции может быть представлена в следующем виде:

, где

- используемое распределение

- вероятность того, что отказ системы произошел по причине, которая привела к плотности распределения . Сумма их должна быть =1.

Пример:

i=2

;

Расчет надежности и анализ сложных систем:

особенности расчета сложных систем.

Система будет являться сложной, если она состоит из большого числа взаимодействующих между собой элементов или подсистем и способна выполнять сложные функции. Деление систем на простые и сложные связано с наличием подсистем с функциональной избыточностью. В сложной системе при отказе отдельных элементов и даже целых подсистем сложная система не всегда теряет свою работоспособность, а часто снижается только ее эффективность. Это свойство сложной системы связано с наличием функциональной избыточности. Потому отказ сложной системы можно определить как событие ,обусловленное выходом характеристик эффективности за установленные допустимые пределы. Величина этого предела связана с полным или частичным прекращением выполнения своих функций.

У простых систем показатели структурной и функциональной надежности совпадают, а у сложных систем – нет. Это связано с тем, что у сложных систем основное влияние на надежность оказывают в большей степени не техническое состояние аппаратуры, а состояние математического и программного обеспечения.

Расчет функциональной надежности:

Расчет выполняется в несколько этапов:

1)выполняем расчет вероятности выполнения заданных функций при условии, аппаратура, участвующая в выполнении этих функций исправна и в данный момент времени t_k и до этого момента времени она была работоспособна. В отличии от обычного расчета надежности здесь рассчитывается только те отказы, которые приводят к невыполнению данной функции.

2)расчет надежности математического и программного обеспечения. Определяем вероятность того, что дефекты обеспечения не приведут к невыполнению заданной функции Р_{м и п о}(τ)

3)проводится расчет оперативного персонала, то есть определяется вероятность того, что ошибки персонала не приведут к отказу в выполнении заданных функций: Р_п(τ)

Функциональная надежность системы может быть представлена прибором показателей надежности отдельных функций P_i(t), где i=1,2,3..N число функций, выполненных данной системой. Если эти функции независимы друг от друга, то P(t)=∏_i=1^N P_i(t)

Основы расчета надежности:

Формальный алгоритм расчета:

Любое устройство находится в состоянии: работает или не работает.

Объект можно разбить на отдельные части или элементы расчета надежности.

Шаги:

1. Анализ условий и режимов эксплуатации системы

2. определение круга выполняемых задач/функций

3. формулировка понятия отказа системы

4. Выявление элементов расчета надежности в системе и составление структурной схемы

5. выбор метода расчета надежности

6. расчет показателей безотказности выбранных элементов расчета надежности

7. составление и решение уравнений надежности, т.е. создание математической модели надежности объекта

8. анализ результатов и выработка рекомендаций по повышению надежности

1. Учитывается анализ условий: где находится система (цех, шахта) режим эксплуатации (посуточно, сменно)

2. По каким функциям можно считать, что система работает качественно, при решении каких задач система работает качественно, многофункциональная/однофункциональная система

3. определить, какие конкретные условия, при выполнении каждой функции, будут считаться условиями отказа

4. разделение системы на отдельные части

5. В зависимости от полученной структурной схемы:

· Аналитический метод

· Экспериментальный

6. Для невосстанавливаемых изделий рассчитывают:

· Интенсивность отказов

· Вероятность безотказной работы

Для восстанавливаемых обычно рассчитывают:

· Вероятность безотказной работы

· Параметр потока отказа

7. Составление уравнений, которые будут формально связывать показатели надежности и параметры, характеризующие качество работы объекта

8. анализ резервов

Структурный анализ:

Реальные объекты имеют сложную структуру.

Основная задача структурного анализа – упростить структурную схему, чтобы легче производить расчеты.

Структурная схема – графическое изображение элементов системы, позволяющее однозначно определить состояние системы.

Особенность структурной схемы – при ее составлении все функциональные связи между элементами заменяются на логические.

Если отказ элемента независимо от его назначения и месторасположения в системе однозначно приводит к отказу всей системы, то такой элемент называется основным, на структурной схеме изображается как последовательное соединение.

Пример: телевизор, предохранитель:

Если отказ системы наступает при отказе всех или части однотипных элементов, такое соединение называют резервным, на схеме изображается как параллельное.

Для одного и того же объекта, в зависимости от его применения, можно построить разные структурные схемы.

Пример: структурная схема регулятора уровня воды в котле

fв – расходомер воды

fп – расходомер пара

L – уровнемер

Зд – задатчик уровня

Р – регулирующая аппаратура

ИМ – исполнительный механизм

РО – регулирующий орган

Структурная схема

1.

Если ИМ работает вместе

если по умолчанию управления ИМ работают независимо друг от друга

Пример:

Упрощение структурной схемы:

Резервирование и его виды:

Резервирование – применение дополнительных или резервных средств с целью обеспечения работоспособности системы.

Резервирование в общем случае основано на наличии какой-либо избыточности.

По виду избыточности резервирование бывает:

· функциональное

· временное

· информационное

· структурное

Функциональное – случай, когда разные устройства или системы выполняют одну и ту же или близкие функции. Этот вид подходит для многофункциональных систем.

Временное – случай, когда для выполнения заданной функции или задачи дается дополнительное или резервное время. Если должна быть решена за время t, то резервирование t+ .

Информационное – случай, когда для передачи информации используется избыточная (резервная) информация. Использование дополнительных символов и т.д.

Структурное – случай, когда в качестве резервных (дополнительных) средств используют дополнительные технические средства и устройства.

По конструкции структурное резервирование может быть:

· Общим, когда для резервирования системы используется 1 или более точка таких же систем.

· Поэлементным – каждый элемент системы резервируется в отдельности.

По режиму работы струтурное резервирование может быть:

· Постоянное нагруженное – когда резерв постоянно включен, работает и несет на себе такую же нагрузку, как и основная система.

· Постоянное малонагруженное – резерв постоянно включен, работает и несет на себе только часть нагрузки от нагрузки основной системы, а всю нагрузку принимают на себя только при отказе основной системы.

· Резервирование-замещение – резерв отключен, не работает, включен в работу только при отказе основной системы.

Для характеристики резервирования используют кратность резервирования

к – кратность резервирования

l – общее число систем в объекте или элементов в системе

r – число систем (элементов), необходимых для нормального функционирования объекта

к=1 – с целой кратностью

к<>1 – с дробной кратностью

Полученную дробь сокращать нельзя ( )

Для определения эффективности резервирования используются показатели эффективности.

- вероятность безотказной работы

Рр – резервирование системы

Р – нерезервирование системы

Вр должно быть >1

- вероятность отказов

 - наработка на отказ