Задача 1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

2) угловой коэффициент искомой прямой равен . Подставим полученное значение k в уравнение (3): y = x +b.

              Рис. 2       Учитывая, что прямая проходит через точку М₁(x₁,y₁), а, значит, ее координаты удовлетворяют искомому уравнению прямой, находим b= y₁ - x₁.

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде

= .                                           (4)

    Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).

    Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2y - 5 = 0. ■

    Задача 2. Угол между двумя прямыми.

    Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k₁x+b₁и y = k₂x+b₂, причем, k₁ = и k₂ =  (k₁ < k₂). Тангенс угла j

Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2x + 51 и y = 3x - 19.

    Решение. Здесь k₁ = 2, k₂ = 3, k₁ < k₂. По формуле (5) = = ; искомый угол j = . ■

    Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.

    Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: =  и j=60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■

    Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.

Даны две прямые y=k₁x+b₁и y=k₂x+b₂. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a₂ =a₁ + 90°. Тогда =  = = = . Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие  или k₁k₂ = -1.

    Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой  y = - x + 1.

    Решение. Так как k₁ = - , то k₂ =  , т.е. = . Отсюда находим a₂ =30°. ■

    Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.

    Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁= k₂, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.

    Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями  A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:

= .                                          (6)

Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А₁А₂+ В₁В₂ = 0, а условием параллельности является равенство .

       Пример 7.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-3) параллельно прямой y = 2x - 20.

       Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М₀, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2x - 5. ■

    Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

          d=         

   Координаты точки М₂(x₂,y₂) находим из                    Рис. 4  

решения системы уравнений

                                   (8)

       Введем замену: u = x₂ - x₁; v = y₂ - y₁. Тогда (7) и (8) можно           записать в виде                       

d= ;                                            (9)

Au + Bv + Ax₁ + By₁ + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - ;  

v = - .

Подставив эти значения в (9), получим

d= = .                       (10)

       Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой   3x-2y-9 = 0.

       Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d=  =  = . ■

2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.

Уравнение вида

Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,                      (11)

если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка.  Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2.1 . Окружность.

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М₀(x₀,y₀). Найдем ее уравнение. Для любой точки М(x,y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ₀=R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).

 Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:

М₀(0,-3).                                                                           

Рис. 5

    Решение. В данном случае x₀ = 0, y₀ = -3,

 R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■

    Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x²+y²+6x-2y+5=0.

    Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x²+6x+9)+(y²-2y+1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R=  с центром в точке (-3,1). ■

2.2. Эллипс.

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2а.

Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид

.                                      (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF₁+ MF₂ = 2a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F₁ и F₂ находятся на расстоянии с =  от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение =e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).

 MF₁ = a+e x, MF₂ = a- e x.  (14)

частный случай эллипса. При этом                                          Рис. 6

эксцентриситет окружности e = 0.                                          

Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М₁(4,- ) и М₂(2 ,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.

Решение. Подставляя координаты точек М₁ и М₂ в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:

, .

Решая эту систему находим полуоси a=  и b= . Искомое уравнение эллипса . Находим, далее, с =  и расстояние между фокусами 2с =2 . Эксцентриситет эллипса e = = = =0,5. ■

    Пример 12. Убедившись, что точка М(-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.

    Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a=5, b=4, с = = =3, e = = :

MF₁ = a+ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF₂ = a-ex = 5- ×(-4) = 7,4. ■

2.3. Гипербола.

Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2а.

В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид

,                                               (15)

называемый каноническим уравнением гиперболы.

Прямые y = x и y = - x называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М(x,y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.

Расстояния от любой точки М(x,y) гиперболы до ее фокусов F₁ и F₂ - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам:

MF₁ = |e x + a|, MF₂ = |e x - a|.                          (16)

    Две гиперболы, заданные уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М₁(6,-1) и М₂(-8,2 ), и найти ее асимптоты.

    Решение. Подставляя координаты точек М₁ и М₂ в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:

, .

Из этой системы находим а² = 32, b² =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= , а мнимая полуось b= . Искомое уравнение гиперболы . Асимптоты определяются по формуле y = x = x = . ■

    Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы , а также расстояния от точки М(-5, ) до фокусов гиперболы.

    Решение. Имеем с = = , так что расстояние между фокусами равно 2с = 10, а координаты фокусов F₁(-5,0) и F₂(5,0).

    Точка М(-5, ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e = : MF₁ =| ×(-5) + 4| = ; MF₂ =| ×(-5) - 4| = . ■

    Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x² - y² = а²; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением , где k= .

    2.4. Парабола.

Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС=  (рис. 8).